改好

 2. 升降記號(hào)

五線譜中，音符的后面可以添加升降標(biāo)記，表示該音符升高半音或降低半音。升號(hào)為#，降號(hào)為b。顯然，有兩個(gè)音是沒必要升的：E升半音就是F，B升半音就是C，而這就是鋼琴鍵盤布局形成的原因。如下圖所示：

 圖7 鋼琴鍵盤中部分鍵位的音名（下面是白鍵音名，上面是黑鍵音名）

鋼琴上的黑鍵比左邊的白鍵高半音（也可以說(shuō)是比右邊的白鍵低半音），因此白鍵B和E的右邊就沒有黑鍵。此外，所有的降音都可以由另一些音的升音代替，比如Bb就是A#，Gb就是F#。那既然如此，為什么不用升號(hào)代替全部的降號(hào)呢？原因就是為了可讀性，正如寫代碼時(shí)不能為了減少代碼量就把所有的if語(yǔ)句都換成三目運(yùn)算符。

如果一段譜子中的某個(gè)音符幾乎都要升半音或降半音處理，那就可以在高音譜號(hào)的右側(cè)，這個(gè)音符所在的一條線或一個(gè)間上標(biāo)記升降號(hào)。

圖8 肖邦《練習(xí)曲 Op.25》第3首選段（略有刪改簡(jiǎn)化）

在圖8所示樂(lè)譜中，第三線上標(biāo)記了一個(gè)降號(hào)b，表示這個(gè)譜子里的所有B音都需降半音，除非另外在個(gè)別音符上標(biāo)記升降或還原記號(hào)。音符被升降半音后的頻率可根據(jù)之前學(xué)過(guò)的相鄰音符之間的頻率倍數(shù)關(guān)系計(jì)算。升高半音后的頻率為原頻率的2–√12212倍，降低半音后的頻率為原頻率的1/2–√121/212倍。比如C5升高半音的頻率即為523.25113×2–√12≈554.3653Hz523.25113×212≈554.3653Hz。

3. 雙音譜

圖9 肖邦《C大調(diào)練習(xí)曲》選段

圖9是一個(gè)鋼琴譜，這下我們終于見到了高音譜號(hào)和低音譜號(hào)并存的樣子了。標(biāo)有高音譜號(hào)的上面一排是高音譜，標(biāo)有低音譜號(hào)的下面一排是低音譜，它們分別對(duì)應(yīng)鋼琴健盤上不同的鍵區(qū)。低音譜的“線”和“間”所對(duì)應(yīng)的音符與高音譜不同，如圖10所示：

圖10 低音譜各音符及其音名

其實(shí)低音譜中的音名也沒有那么難記，實(shí)際上它和高音譜是相互連接的，中間剛好只隔了一條加線。高音譜的下加一線就是低音譜的上加一線，而這條線上的音就是中央C，即C4。和高音譜號(hào)類似，低音譜號(hào)的圓心標(biāo)記的是F3在譜中的位置，即第四線上。

低音譜中各音的頻率計(jì)算與高音譜是相同的，只要搞清音程關(guān)系，從基準(zhǔn)音推算即可。比如在前面的鋼琴譜中可以看到低音譜的最左端有兩個(gè)C（它們是用圓圈表示的），一個(gè)是第二間的C3；另一個(gè)是下加二線上的C2。C3和C2的頻率分別為C4頻率的1/4和1/8，而C4的頻率在前面已經(jīng)計(jì)算過(guò)了。

利用上面的知識(shí)，你已經(jīng)可以計(jì)算任何一個(gè)五線譜中每個(gè)音的頻率了，八度音程中各音之間的音程可參見第五講后面給出的音程表。那么接下來(lái)我們介紹對(duì)一些特別的頻率進(jìn)行合成的問(wèn)題——和聲。

三、和聲

和聲，是指由超過(guò)一個(gè)單音所組合而成的聲音。你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，和聲的定義與拍音的定義是非常相似的。的確如此，所有的拍音都是和聲，但和聲不一定會(huì)產(chǎn)生拍音。首先，人耳可以聽到的聲波頻率范圍大約為20Hz到20000Hz，如果和聲產(chǎn)生的頻率超過(guò)這個(gè)范圍，通常就不能稱之為拍音了。其次，不同的樂(lè)器發(fā)出的單音進(jìn)行疊加也可以稱為和聲，這也不是拍音。最后，拍音要求所有單音同時(shí)發(fā)出，而和聲則無(wú)此要求，只要一個(gè)音在另一個(gè)音結(jié)束之前發(fā)出，它們交疊的部分就形成了和聲。

肖邦《C大調(diào)練習(xí)曲》的前兩個(gè)小節(jié)，下載收聽。這是由一架鋼琴演奏的曲目，前兩個(gè)小節(jié)的樂(lè)譜在本講第一節(jié)中給出。一開始的那個(gè)低沉的重音就是C3和C2的和聲。朋友們可以在在線鋼琴上試著彈一下C3和C2這兩個(gè)單音的和聲（對(duì)應(yīng)鍵盤上左起第1個(gè)鍵和第8個(gè)鍵）。樂(lè)譜中這個(gè)和聲從一開始延續(xù)到了第二個(gè)小節(jié)結(jié)束，在這期間，鋼琴還奏出了一共31個(gè)音符，這每一個(gè)音符與持續(xù)的低音和聲又形成了更復(fù)雜的和聲。下面請(qǐng)收看《C大調(diào)練習(xí)曲》的完整版，請(qǐng)朋友們注意鋼琴家的左手總是保持按下的狀態(tài)，都是在利用聲音的延續(xù)制造和聲。

瓦倫蒂娜?烏拉索娃演奏，肖邦《C大調(diào)練習(xí)曲》

在西方古典音樂(lè)理論中，和聲主要研究?jī)蓚€(gè)單音構(gòu)成的和聲，三個(gè)或以上單音構(gòu)成的和聲一般稱為和弦，我們放在下一節(jié)討論。在一個(gè)純八度范圍內(nèi)，兩個(gè)單音的和聲一共有12種，即與12種音程相對(duì)應(yīng)。在鋼琴鍵盤上以中央C鍵，即C4為準(zhǔn)，請(qǐng)?jiān)嚶犚幌翪4分別與D4、E4、F4、G4、A4、B4以及C5鍵同時(shí)按下的和聲效果。聽過(guò)以后有沒有發(fā)現(xiàn)某些和聲比較悅耳，而某些則比較難聽？比如C4和C5同時(shí)按下（純八度音程）的和聲就毫無(wú)違和感，就像只有一個(gè)音；而C4和D4同時(shí)按下（小二度音程）就非常刺耳難聽。這究竟是為什么呢？

圖11 鋼琴鍵盤與五線譜對(duì)照?qǐng)D

就是因?yàn)榕囊簦∩弦恢v我們學(xué)到，相鄰兩個(gè)音之間的頻率比為2–√12≈1.059463212≈1.059463，我們將這個(gè)數(shù)記為p，那么各音程的頻率比（即相距某個(gè)音程的低音比高音）可由其音數(shù)t按公式：1/(2t)p1/(2t)p算得。由于除純八度外的所有音程的頻率比均為無(wú)理數(shù)，因此他們的拍音的頻率只能按他們頻率的近似整數(shù)比來(lái)計(jì)算，詳見第一講第三節(jié)。計(jì)算近似整數(shù)比的數(shù)學(xué)過(guò)程是比較復(fù)雜的，這里篇幅有限，不做進(jìn)一步的討論。接下來(lái)我們分別換算一下12個(gè)音程的頻率比。

音程近似頻率比近似整數(shù)比最小公倍數(shù)

小二度1:1.0615:16240

大二度1:1.128:972

小三度1:1.195:630

大三度1:1.264:520

純四度1:1.343:412

三全音1:1.417:1070

純五度1:1.502:36

小六度1:1.595:840

大六度1:1.683:515

小七度1:1.785:945

大七度1:1.898:15120

純八度1:21:22

按近似整數(shù)比的最小公倍數(shù)排序，可以得到如下和聲序列：<純八度，純五度，純四度，大六度，大三度，小三度，小六度，小七度，三全音，大二度，大七度，小二度>

通過(guò)在鋼琴上彈奏對(duì)比可知，越向左邊的和聲越“協(xié)和”，但也越空洞，就是好像只有一個(gè)音，不夠飽滿；越向右邊的和聲越“難聽”，但也越飽滿。人們根據(jù)這一特征，將和聲的協(xié)和程度分為“極完全協(xié)和”、“完全協(xié)和”、“不完全協(xié)和”、“不協(xié)和”與“極不協(xié)和”五類，如下圖所示：

圖12 各音程的協(xié)和程度

我們做一個(gè)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。比如C4和G4之間是完全協(xié)和的純五度，他們的弦長(zhǎng)比是3:2，最小公倍數(shù)是6，那么他們的拍音頻率就是弦長(zhǎng)為C4弦長(zhǎng)2倍的弦所發(fā)出的聲音的頻率，顯然就是C3的音。我們可以在在線鋼琴上同時(shí)按下i（C4）和x（G4）鍵，然后試著同時(shí)按下i、x和q（C3）鍵聽一聽效果?？梢愿杏X到C4和G4把C3增強(qiáng)了。同理，A6和B6這兩個(gè)小二度音程的弦長(zhǎng)比是16:15，最小公倍數(shù)240，拍音頻率對(duì)應(yīng)的音為B2，然而B2與A6和B6相隔太遠(yuǎn)了，我們無(wú)法聽出拍音增強(qiáng)的效果。

和聲理論已經(jīng)發(fā)展為一門學(xué)科，稱為和聲學(xué)，內(nèi)容是相當(dāng)復(fù)雜的，這里只做簡(jiǎn)單的科普性介紹，感興趣的同學(xué)可以閱讀《和聲學(xué)》。

四、總結(jié)

這一講的內(nèi)容是所有樂(lè)理中最復(fù)雜，也最困難的。但只要過(guò)了這一關(guān)，后面的內(nèi)容就會(huì)輕松很多了。

寫給理工科人看的樂(lè)理（四）和弦與調(diào)式

關(guān)鍵字：成人學(xué)樂(lè)理 樂(lè)理基礎(chǔ) 樂(lè)理入門

通過(guò)前面的課程的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)掌握了計(jì)算五線譜中任何一個(gè)音的音高（頻率值），并且學(xué)習(xí)了音的組和方法：和聲。這一講將以這些知識(shí)為基礎(chǔ)來(lái)介紹和弦與調(diào)式理論。這些內(nèi)容中數(shù)理方面的并沒有之前的課程那么多，但感性的成份卻是比較豐富的，且要求記憶的東西也多了一些。不過(guò)，仍然先是歷史課。

一、樂(lè)理發(fā)展史 · 之三

上一次的歷史課已經(jīng)研究了人們是如何用五度相生律構(gòu)造出7音階的過(guò)程，并知道這7個(gè)音分別是：{1, 1.125, 1.265625, 1.333, 1.5, 1.6875, 1.8984375}，它們對(duì)應(yīng)的音名是：{C, D, E, F, G, A, B}。后來(lái)人們不斷的改進(jìn)音階的生成方式，并增加純八度音程內(nèi)的音數(shù)，直到十二平均律這一黃金律制產(chǎn)生。今天我們就來(lái)研究7音階是如何演化為12音階的。

隨著制作工藝的不斷進(jìn)步，樂(lè)器的音準(zhǔn)越來(lái)越高，人們慢慢意識(shí)到五度相生律產(chǎn)生的7音階與理想曲線相比誤差實(shí)在是太大了。我們現(xiàn)在知道，當(dāng)相鄰的音都為等比關(guān)系時(shí)，音階才最平滑。而原始7音階中的第3個(gè)音和第7個(gè)音看起來(lái)是那么突兀，這樣構(gòu)造出來(lái)的音樂(lè)確實(shí)不夠好聽。后來(lái)有人提出“純律”學(xué)說(shuō)，但究竟是誰(shuí)最早提出的至今還存在爭(zhēng)議。有人認(rèn)為純律和五度相生律都是畢達(dá)哥拉斯提出或整理的，也有人認(rèn)為純律在中國(guó)2400年前的戰(zhàn)國(guó)時(shí)代就已開始應(yīng)用，還有人說(shuō)是古希臘學(xué)者亞理斯托森努斯發(fā)明……不過(guò)可以肯定的是純律在2000多年前就已被人類所掌握。純律構(gòu)造音階的方法與五度相生律不同，它是由純五度（2:3）和大三度（4:5）為素材確定7音階的律制。純率生成的7個(gè)音的頻率分別是：{f, 9f/8, 5f/4, 4f/3, 3f/2, 5f/3, 15f/8}。嗯，確實(shí)比五度相生律的那些巨大的分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)單多了，那他的平滑度怎么樣呢？請(qǐng)觀察圖1。

圖1 五度相生律音階（藍(lán)），純律音階（綠）和理想音階（橙）對(duì)比

好是好點(diǎn)，不過(guò)就那么一點(diǎn)點(diǎn)而已，而且還打破了五度相生律產(chǎn)生的內(nèi)部協(xié)調(diào)性。此外7個(gè)音也開始顯得不夠用了，人們希望通過(guò)變調(diào)使得音樂(lè)更加豐富，看來(lái)還得繼續(xù)探索。

之前人們?yōu)榱擞?jì)算第7個(gè)音，就要計(jì)算2/3的5次冪，這對(duì)于2000多年前的計(jì)算水平來(lái)說(shuō)確實(shí)有點(diǎn)難了。然而數(shù)學(xué)的發(fā)展又一次給音樂(lè)帶來(lái)了新生。人們通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，2/3的12次冪約為129.74634，約等于基準(zhǔn)頻率f上面的第7個(gè)八度音的頻率f×28=128ff×28=128f，那么可否繼續(xù)應(yīng)用五度相生律再產(chǎn)生一些音呢？看下表：

n頻率倍率

13f/21.5

29f/42.25

327/83.375

481f/165.0625

5243f/327.59375

6729/6411.3906

72187/12817.0859

86561/25625.6289

919683/51238.4434

1059049/102457.6650

11177147/204886.4976

由這些倍率產(chǎn)生的12音階為（用倍率除以它下面的第一個(gè)2n2n而得）：{1, 1.0679, 1.125, 1.2014, 1.2656, 1.3515, 1.4238, 1.5, 1.6018, 1.6875, 1.802, 1.8984}，把他們畫在坐標(biāo)系中，請(qǐng)觀賞圖2。

圖2 五度相生律產(chǎn)生12音階（新產(chǎn)生的五個(gè)音為綠色）

震驚了嗎？多么平滑的一條折線，而且新產(chǎn)生的音都被“均勻”地安插在了原先的7音階中間。我們不得不驚嘆造物主的神奇，這也是音樂(lè)是世界上唯一通行的語(yǔ)言的原因吧！由于之前的七個(gè)音和它們的音名{C, D, E, F, G, A, B}已經(jīng)非常流行了，且新產(chǎn)生的音都可以看作是用原7音階中的某個(gè)音升半音而得，因此這5個(gè)新產(chǎn)生的音就被叫做{C#, D#, F#, G#, A#}，這也正是為什么E和F、B和C之間是半音的原因。

看起來(lái)已經(jīng)很完美了，還有改進(jìn)的空間嗎？答案是有的。盡管五度相生律生成的12音階已經(jīng)相當(dāng)平滑了，但仍然不是理想的“等比”音階，這樣就會(huì)導(dǎo)致一個(gè)潛在的問(wèn)題。我們舉例來(lái)說(shuō)，大家都在KTV唱過(guò)歌，應(yīng)該知道有些KTV的點(diǎn)播機(jī)有升降音的功能，當(dāng)伴奏比較高而人聲又吼不上去時(shí)，可以用降音功能把伴奏的音高統(tǒng)一降低一些，這樣聽起來(lái)仍然是非常自然的。比如一首歌原先的音的序列是，降低半音就是：。聽起來(lái)仍然非常自然的原因在于這一序列內(nèi)部的音程比例關(guān)系沒有變，仍然是以2–√12212為基準(zhǔn)的。在音樂(lè)術(shù)語(yǔ)中，這個(gè)過(guò)程叫做轉(zhuǎn)調(diào)。然而要在五度相生律生成的12音階系統(tǒng)中進(jìn)行轉(zhuǎn)調(diào)就會(huì)產(chǎn)生偏差，因?yàn)樗鼉?nèi)部的音程比例關(guān)系不是固定的。設(shè)想一群樂(lè)師給皇帝演奏曲目，樂(lè)器的音準(zhǔn)都是預(yù)先調(diào)好的，結(jié)果皇帝一時(shí)興起想高歌兩句但又唱不上去高音，就命令樂(lè)師低兩個(gè)音演奏，結(jié)果聽到的伴奏完全不是剛剛那么回事了，這是多么尷尬的一件事。

 圖3 至今仍有一些古老的樂(lè)器難以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)調(diào)

后來(lái)人們又想出了各種修正的辦法，比如構(gòu)造一些等差數(shù)列來(lái)修正每個(gè)音與理想曲線的誤差等等，但這些方法既復(fù)雜又不能從根本上解決問(wèn)題。這時(shí)整個(gè)音樂(lè)界都在急迫的等待新律制的誕生。直到公元17世紀(jì)的明朝人朱載堉提出十二平均律，并由利瑪竇帶到西方，才拯救西方音樂(lè)界于水火之中。雖然十二平均律看起來(lái)那么完美，但也不是完全沒有問(wèn)題。有人認(rèn)為十二平均律破壞了純四度和純五度的協(xié)調(diào)關(guān)系，也就是說(shuō)我們之前講的F音應(yīng)該是C音頻率的4/3=1.33333倍，G音應(yīng)該是F音的3/2=1.5倍，而在十二平均律中它們的倍率分別是：2512≈1.334842512≈1.33484和2512≈1.498312512≈1.49831。其實(shí)所差無(wú)幾，不是嗎？在通常的演奏音域范圍內(nèi)，人耳幾乎是不可能聽出這些區(qū)別的，這也是十二平均律沿用至今而五度相生律和純律都已遭淘汰的原因。

世界三大律制：五度相生律、純律和十二平均律的故事就講完了，今天的歷史課可能有點(diǎn)枯燥，我們來(lái)聽點(diǎn)音樂(lè)調(diào)節(jié)一下吧：

郎朗演奏肖邦《英雄波羅乃茲》

二、和弦

和弦（念“xian”，不念“xuan”，通常發(fā)兒化音）原指弦線，在音樂(lè)理論里，是指組合在一起的兩個(gè)或更多不同音高的音。在歐洲古典音樂(lè)及受其影響的音樂(lè)風(fēng)格里，更多時(shí)候是指三個(gè)或以上的音高組合。和弦的組成音，可分開演奏，亦可同時(shí)演奏。分開演奏的，我們稱為分解和弦。

和弦的結(jié)構(gòu)類型很多，如果按照組成音的多寡來(lái)區(qū)分，和弦可以分為三和弦、七和弦及九和弦等。三和弦是由三個(gè)音組成，七和弦是由四個(gè)音組成，九和弦則由五個(gè)音組成。如果按照和弦組成音之間的音程結(jié)構(gòu)來(lái)分類，又可分為大和弦、小和弦、增和弦和減和弦四種形態(tài)。

1. 三和弦

以任意一個(gè)音n1為基準(zhǔn)，稱為根音，向上三度得到n2，向上五度得到n3，這三個(gè)音的和弦稱為三和弦。三和弦可以再分為大三和弦、小三和弦、增三和弦和減三和弦。這些三和弦的構(gòu)成如下表所示：

名稱[n1,n2][n1,n3]

大三和弦大三度純五度

小三和弦小三度純五度

增三和弦大三度增五度

減三和弦小三度減五度

上表中[n1,n2]表示從n1到n2的音程，[n1,n3]表示從n1到n3的音程。注意增五度就是小六度，減五度就是三全音，這是在上一講中提到過(guò)的異名同音現(xiàn)象。接下來(lái)我們就用鋼琴的音階來(lái)舉一些三和弦的例子。

圖4 鋼琴白鍵之間的音程

如果你已經(jīng)完全理解了上一講的內(nèi)容，很容易就可以推算出圖3所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系。C和E兩鍵之間共有兩個(gè)全音，因此是大三度，C和G是純五度，那么C、E和G三個(gè)白鍵就構(gòu)成了大三和弦，請(qǐng)?jiān)谠诰€鋼琴上試彈（對(duì)應(yīng)鍵盤上的T、U和O）。C和Eb（E左邊的黑鍵）是小三度，那么C、Eb和G三個(gè)鍵構(gòu)成了小三和弦（在線鋼琴的黑鍵可以用鼠標(biāo)點(diǎn)）。同理可知：C、E和G#（G右邊的黑鍵）構(gòu)成增三和弦，C、Eb和和Gb（G左邊的黑鍵）構(gòu)成減三和弦。

需要注意的是，如果換一個(gè)音作為起始，那么和弦對(duì)應(yīng)的鍵位就會(huì)發(fā)生明顯的變化，且發(fā)出的聲音色彩也會(huì)完全不同。以A為根音的大三和弦是A、C#和E，小三和弦是A、C和E，增三和弦是A、C#和E#，減三和弦是A、C和Eb。12種大三和弦對(duì)應(yīng)的鍵位如圖5所示，可在在線鋼琴上試彈，要按從左到右，從上到下的順序依次試彈每個(gè)大三和弦，每個(gè)三和弦的三個(gè)音以12321的順序按下。

 圖5 所有大三和弦的鋼琴鍵位

用電腦鍵盤來(lái)按鍵是比較方便的，如果您找不著鍵位，下面給出了試彈的按鍵序列。注意大寫字母要同時(shí)按下shift鍵和字母鍵，這就是黑鍵的按法，空格處稍做停頓。

tuout TiOiT yIpIy YoPoY uOaOu ipspi IPSPI oadao OsDsO pSfSp PdgdP aDGDa

將每個(gè)大三和弦的n2音降半音，可得到一共12個(gè)小三和弦，它們的按鍵序列為：

tYoYt TUOUT yipiy YIpIY uoaou iOsOi IpSpI oPdPo OADAO psfsp PSgSP adGda

通過(guò)比對(duì)我們可以聽出，小三和弦的“協(xié)調(diào)”程度不如大三和弦，這一原因請(qǐng)朋友們用之前學(xué)習(xí)的和聲理論進(jìn)行分析。增三和弦和減三和弦的情況與之類似，朋友們可以自行推算所有增三和弦與減三和弦的音名。

2. 七和弦

七和弦比三和弦多加一個(gè)音n4，它于n1的音程為七度。七和弦又分為：大小七和弦、大七和弦、小七和弦、小大七和弦、增七和弦、增七和弦和半減七和弦一共7種，每一種七和弦的音的配置參見維基百科，此處不再贅述。

有了和聲與和弦理論，就可以進(jìn)入更高一級(jí)的主題，那就是調(diào)式與調(diào)性。

三、調(diào)式

先給出調(diào)式的定義：調(diào)式是若干個(gè)具有不同音高的音的集合，這些音互相之間具有某種特定的音程關(guān)系，并在調(diào)式中擔(dān)任不同的角色。調(diào)式是決定音樂(lè)風(fēng)格最重要的因素之一，調(diào)式和調(diào)性結(jié)合，決定了該段音樂(lè)所用的調(diào)。

現(xiàn)在最常使用的調(diào)式大體分為大調(diào)式和小調(diào)式兩種，又細(xì)分為自然大調(diào)、旋律大調(diào)、和聲大調(diào)、自然小調(diào)、旋律小調(diào)、和聲小調(diào)等等，但無(wú)論哪種調(diào)式都具有7種不同的音，依次分別稱為：主音、上主音、中音、下屬音、屬音、下中音和下主音，其中下主音有時(shí)也稱作導(dǎo)音。這什么會(huì)有這樣的名稱呢？回顧我們上一講提到的五度相生律就會(huì)明白：主音生屬音，而中音位于主音和屬音之間，主音下面是下主音、上面是上主音，屬音下面是下屬音，屬音和下主音之間的另一個(gè)中音稱為下中音。額，還是很麻煩吶，只能死記硬背了。。。不過(guò)還有另一種福音命名法：主音、I級(jí)音、II級(jí)音、III級(jí)音、IV級(jí)音、V級(jí)音、VI級(jí)音和VII級(jí)音（“福音”二字是我給起的，呵呵）。不同的調(diào)式規(guī)定了這些音之間不同的音程，但不規(guī)定音的具體音高。也就是說(shuō)調(diào)式仍是建立在以十二平均律體系為基礎(chǔ)的相對(duì)音高系統(tǒng)之上的。調(diào)式系統(tǒng)里最重要的是自然大調(diào)和自然小調(diào)，這兩個(gè)自然調(diào)式一定要熟記，下面分別學(xué)習(xí)。

1. 自然大調(diào)

自然大調(diào)是最常見的調(diào)式，大多數(shù)流行歌曲都采用自然大調(diào)。自然大調(diào)的規(guī)則是：除了“中音和下屬音”，“下主音和主音”這兩對(duì)音之間的音程是小二度之外，其他相鄰兩音之間都是大二度 （音數(shù)為1，即1個(gè)全音）。因此一個(gè)自然大調(diào)從主音開始依次往高的音程可以這樣來(lái)記憶：“全全半全全全半”，這也就是著名的大調(diào)音階。而一個(gè)主音到下一個(gè)主音之間的音程剛好是純八度，也就是將一個(gè)主音當(dāng)做1，計(jì)數(shù)到8的那個(gè)音與主音的音程。這下我們終于知道為什么叫做“純八度”了，呵呵。

圖6 一個(gè)典型的大調(diào)音階

圖6是一個(gè)最簡(jiǎn)單的大調(diào)音階，不包括任何的升降標(biāo)記。其中音符下方的弧線代表全音音程，上方的折線代表半音音程。我們可以在在線鋼琴上試彈一個(gè)大調(diào)音階，對(duì)應(yīng)鍵盤上的按鍵是：tyuiopas。

2. 自然小調(diào)

自然小調(diào)是和自然大調(diào)同等重要的調(diào)式，在古典音樂(lè)中應(yīng)用非常廣泛。它的音階為“全半全全半全全”?？雌饋?lái)與自然大調(diào)音階只是相位不同而已，但實(shí)際上由于作曲時(shí)要先定調(diào)，就像寫程序先設(shè)計(jì)框架結(jié)構(gòu)一樣。定了調(diào)之后就有了主音以及其它音的相對(duì)音高關(guān)系，而作曲時(shí)都要圍繞主音進(jìn)行。以主音為根音的三和弦稱為主和弦，大調(diào)使用大三和弦，而小調(diào)使用小三和弦，因此聽起來(lái)是有很大差異的。

圖7 一個(gè)典型的小調(diào)音階

圖6所的小調(diào)音階為<A3 B3 C4 D4 E4 F4 G4 A4>在在線鋼琴上對(duì)應(yīng)的鍵盤按鍵是：ertuyiop

3. 其它小調(diào)式

大調(diào)一般只有一種，就是自然大調(diào)。蘇聯(lián)老毛子發(fā)明的什么和聲大調(diào)、旋律大調(diào)都是瞎胡鬧。但小調(diào)還分為和聲小調(diào)、旋律小調(diào)和現(xiàn)代小調(diào)三種，但都比較少見，有些只在特別的音樂(lè)類型中出現(xiàn)，比如現(xiàn)代小調(diào)一般只出現(xiàn)在爵士樂(lè)中。

為什么小調(diào)會(huì)出現(xiàn)變種呢？這是因?yàn)樾≌{(diào)有著天生的缺陷。自然大調(diào)的下主音和主音之間的音程是半音，即小二度，很好的體現(xiàn)了對(duì)主音的傾向。舉例而言，從一個(gè)大調(diào)音階<C、D、E、F、G、A、B、C>中的B到C的過(guò)渡是非常自然和平緩的，這樣作曲時(shí)就方便的使用跨越純八度的和聲。然而小調(diào)的下主音和主音之間的音程是全音，即大二度，欠缺了傾向主音的性質(zhì)，因此人們就嘗試將自然小調(diào)音階的導(dǎo)音提升半音，這樣就得到了和聲小調(diào)音階。旋律小調(diào)和現(xiàn)代小調(diào)就更加復(fù)雜一些，牽扯不同的上行音階和下行音階，這些過(guò)于專業(yè)的內(nèi)容就不再贅述了。

4. 大小調(diào)關(guān)系

前面所說(shuō)的絕對(duì)音名相同但相位不同的大小調(diào)稱為關(guān)系調(diào)，比如降E大調(diào)（降E大調(diào)是指該調(diào)采用的主音為Eb）的關(guān)系小調(diào)叫做c小調(diào)，降E大調(diào)音階是，c小調(diào)的音階是，可以看出它們采用的音名都是相同的，但做了移相。因此從升降號(hào)上是無(wú)法區(qū)分大小調(diào)的，但是通過(guò)觀察譜子里使用的主音就很容易區(qū)分了。現(xiàn)在朋友們的基礎(chǔ)知識(shí)不夠，等一下講介紹了調(diào)性理論后，我們會(huì)來(lái)練習(xí)從譜子中看出調(diào)式與調(diào)性。

大調(diào)一直以來(lái)都是作曲家鐘愛的調(diào)試，而相比之下小調(diào)的音樂(lè)就比較少了，古典音樂(lè)里二者還相差不多，但流行樂(lè)中的小調(diào)就少得多了。這主要是因?yàn)樾≌{(diào)的歌唱性沒有大調(diào)強(qiáng)，常用來(lái)表達(dá)負(fù)面的情感，比如悲傷、陰沉、恐怖等，在電影、游戲中的背景音樂(lè)中?？梢月牭?。不過(guò)流行歌曲也是有一些的，比如《白樺林》、《愛的供養(yǎng)》、《傷心太平洋》等，國(guó)外的流行歌曲到是多一些，而且有人研究發(fā)現(xiàn)：從1960年代以來(lái)越來(lái)越多的流行歌曲是以小調(diào)作曲的。。。

四、總結(jié)

這一講我們學(xué)習(xí)了和弦理論以及調(diào)式系統(tǒng)的相關(guān)分類，詳細(xì)介紹了自然大調(diào)和自然小調(diào)兩種最主要的調(diào)試和他們的關(guān)系，都是屬于比較枯燥的內(nèi)容。但這些東西不講，下一講的調(diào)性理論就沒辦法展開，這也是基礎(chǔ)樂(lè)理中關(guān)于音高的最后一部分內(nèi)容了。同志們，勝利在望啊，請(qǐng)繼續(xù)堅(jiān)持！另外，感謝朋友們的支持，我也會(huì)繼續(xù)努力的。

寫給理工科人看的樂(lè)理（五）調(diào)性

這一講是樂(lè)理中有關(guān)音調(diào)知識(shí)的終曲，不過(guò)我們還是從歷史講起。

一、樂(lè)理發(fā)展史 · 之四

前面的歷史課我們了解到“確定相對(duì)音高”的律制系統(tǒng)是如何在人類的歷史長(zhǎng)河中慢慢演化，直到形成今天廣泛應(yīng)用的十二平均律系統(tǒng)。這次歷史課我們主要回顧用來(lái)“確定絕對(duì)音高”的記譜系統(tǒng)的發(fā)展歷程。

在人類音樂(lè)史上曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)很多種不同的記譜法，大致可分為三大類：文字譜、符號(hào)譜和線譜。有不少學(xué)者認(rèn)為文字譜和符號(hào)譜應(yīng)該歸為一類，但在下愚見認(rèn)為，這二者處于不同的發(fā)展階段，且由于文字系統(tǒng)的復(fù)雜性（表音文字和表意文字等），文字譜的意義與符號(hào)譜是完全不同的。閑言碎語(yǔ)不多講，我們進(jìn)入正題。

盡管世界上任何一個(gè)地方的人類都在數(shù)千年前就開始創(chuàng)造音樂(lè)了，但是由于東西方文明的巨大差異，導(dǎo)致發(fā)展出了完全不同的記譜系統(tǒng)。早在公元前25世紀(jì)，古埃及人就已經(jīng)制造出了至少幾十種各不相同的樂(lè)器。盡管現(xiàn)在已經(jīng)無(wú)法考證古埃及人是如何記錄音符的，但幾乎可以肯定的是：他們已經(jīng)發(fā)展出了比較完善的音樂(lè)理論，并且使得每一種樂(lè)器都能夠合理的校準(zhǔn)來(lái)配合大型樂(lè)隊(duì)的演奏。

在東方，最古老的樂(lè)譜出自于華夏文明，春秋時(shí)期的《禮記·投壺》記載了至今發(fā)現(xiàn)的最古老樂(lè)譜：鼓譜，它是用符號(hào)方框和圓圈記錄的。到漢代司馬遷的《史記》“律書第三”中寫到：“……九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為徵（念zhi，三聲）。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角?！薄Ｋ囊馑际侨∫桓脕?lái)定音的竹管，長(zhǎng)為81單位，定為“宮音”。然后將81乘上2/3，就得到54單位，定為“徵音”。將徵音的竹管長(zhǎng)度54乘上4/3，得到72單位，定為“商音”。將商音72乘2/3，得48單位，為“羽音”。羽音48乘4/3，得64單位，為“角音”。而這宮、商、角、徵、羽五個(gè)音高，被稱為中國(guó)的五音。這種音律方法稱為“三分損益法”。

后來(lái)人們繼續(xù)應(yīng)用三分損益法構(gòu)造出了另外7個(gè)音，并給這一共12個(gè)音都起了名字。與現(xiàn)代音名的對(duì)照分別是：黃鐘（C），林鐘（G），太簇（D），南呂（A），姑洗（E），應(yīng)鐘（B），蕤賓（Gb/F#），大呂（Db/C#），夷則（Ab/G#），夾鐘（Eb/D#），無(wú)射（Bb/A#），仲呂（F）。以這些音名第一個(gè)字作為簡(jiǎn)寫就是中國(guó)古代使用最廣泛的記譜法：“樂(lè)律譜”，它屬于文字譜的一種。

圖1 明·朱載堉《樂(lè)律全書》（點(diǎn)擊方大）

但是樂(lè)律譜的記載太麻煩了，因此人們又發(fā)明了“工尺譜”。唐朝已經(jīng)有工尺譜，傳到宋朝極為流行。它具有7個(gè)唱名：上、尺、工、凡、六、五、乙，大至對(duì)應(yīng)于西方的{Do, Re, Mi, Fa, So, La, Si}。相信最初工尺譜是某種樂(lè)器的樂(lè)譜，是固定音名，但后來(lái)在不同樂(lè)器和樂(lè)種廣泛流傳以后，工尺譜逐漸變成不固定的唱名。

圖2 清·張鶴《琴學(xué)入門》（點(diǎn)擊放大）

工尺譜是一種符號(hào)譜，但它并非一種精確的記譜法，有很大的空間讓表演者作即興發(fā)揮。在傳統(tǒng)中國(guó)音樂(lè)里，樂(lè)譜只是一個(gè)記載的媒體，表演者并不會(huì)完全依據(jù)樂(lè)譜演奏，他可以加花（加上裝飾音），在節(jié)奏上也有一定的自由。至于如何演奏才是合適的手法，是約定俗成的，以師父?jìng)魍降艿目谑谛膫鞯姆绞嚼^承。因此不同流派會(huì)有不同的演繹風(fēng)格，這也是導(dǎo)致中國(guó)古代樂(lè)理水平進(jìn)步相當(dāng)緩慢的主要原因。

西方最早的樂(lè)譜出現(xiàn)在古希臘，當(dāng)時(shí)是刻在石碑上的符號(hào)譜，難記難讀，流傳很少。到公元9世紀(jì)時(shí)出現(xiàn)了寫在羊皮紙上“紐姆譜”，見圖3。

圖3 紐姆譜記錄的圣歌（公元9世紀(jì)）

后來(lái)人們覺得用符號(hào)表示音符實(shí)在太過(guò)麻煩，就嘗試在音符間加了一條線，用這條線來(lái)代表一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)音高。后來(lái)人們又開始增加線的數(shù)量，到11世紀(jì)，意大利樂(lè)理大師桂多通過(guò)對(duì)紐姆譜的改進(jìn)，發(fā)明了四線譜，并發(fā)從一首圣歌的歌詞中提取出了六個(gè)音的唱名ut、re、mi、fa、so、la。這就是五線譜和七唱名的前身。

圖4 11世紀(jì)的紐姆譜

圖4所示的古代紐姆譜看起來(lái)已經(jīng)相當(dāng)接近于現(xiàn)代的五線譜了，不是嗎？但是在16世紀(jì)之前，西方一直沒有一種統(tǒng)一的記譜法，符號(hào)的、一線的、兩線的、三線的、四線的都有。直到公元十六世紀(jì)，五線譜誕生之后才逐漸一統(tǒng)江湖，形成全歐洲音樂(lè)人的標(biāo)準(zhǔn)記譜法。而五線譜的真正普及則是發(fā)生在17世紀(jì)，巴洛克時(shí)期的事情了。

圖5 巴赫的手稿（1726年）

這時(shí)的五線譜就已經(jīng)和現(xiàn)代五線譜基本相同了。有了統(tǒng)一的記譜法，各地的音樂(lè)家們開始更為廣泛的溝通和交流，而這時(shí)人們慢慢地意識(shí)到制定標(biāo)準(zhǔn)音高的重要性。要知道一個(gè)17世紀(jì)的英國(guó)教堂管風(fēng)琴，使用的音高可能就比同城市中平民使用的鍵盤樂(lè)器低了五個(gè)半音。這樣的情況對(duì)于音樂(lè)交流來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)直就是災(zāi)難。在1720年的英國(guó)音笛演奏中央A的頻率為380Hz，而巴赫在漢堡市、萊比錫及魏瑪?shù)鹊厥褂玫墓茱L(fēng)琴則以480Hz表示同一個(gè)音符，這兩者約差四個(gè)半音。換句話說(shuō)，1720年的英國(guó)音笛演奏的A音在巴赫那邊會(huì)被認(rèn)為是F音。

自18世紀(jì)早期，音叉（于1711年發(fā)明）的使用確實(shí)為音高帶來(lái)了一個(gè)可靠的標(biāo)準(zhǔn)，然而差異仍然無(wú)法避免。比方說(shuō)，亨德爾在1740年使用對(duì)應(yīng)為A音的音叉，其頻率為422.5赫茲，但在1780年時(shí)他使用同樣對(duì)應(yīng)A的音叉則有不同的頻率：409赫茲，后者低了將近一個(gè)半音。不過(guò)，到了十八世紀(jì)末，中央C上的A所使用的頻率漸漸地演進(jìn)成在400赫茲到450赫茲之間。

上面提到的頻率乃是經(jīng)過(guò)現(xiàn)代儀器測(cè)量所得，當(dāng)時(shí)的音樂(lè)家并沒有方法得到如此準(zhǔn)確的數(shù)值。雖然馬蘭·梅森在16世紀(jì)早期便對(duì)聲音的頻率有了初步的了解，直到十九世紀(jì)，在德國(guó)物理學(xué)家約翰.施布雷在1830年所做的努力之前，人們都沒有足夠精確的科學(xué)方法測(cè)量頻率。至于用赫茲取代每秒循環(huán)次數(shù)，則是直到20世紀(jì)才做出的改變。

法國(guó)政府曾在1859年2月16日通過(guò)了一個(gè)法案定義中央C上的A為435赫茲。這是把音高尺度標(biāo)準(zhǔn)化的第一個(gè)嘗試。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之后在法國(guó)之外也非常流行，隨著時(shí)間發(fā)展它漸漸從法國(guó)音高、大陸音高，最后甚至被稱為國(guó)際音高。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)音域使得中央C的頻率調(diào)整為約258.65赫茲。而另有一個(gè)稱為“哲學(xué)的”或“科學(xué)的”的音高標(biāo)準(zhǔn)，把中央C定義為256赫茲，為此必須把A音調(diào)為約430.54赫茲。由于此法提供了一些數(shù)學(xué)上的便利，所有的C音都是二的次方（C1=32、C2＝64、C3＝128、C4＝256），因此也得到了一些的支持者（包括我在內(nèi)，呵呵）。不過(guò)比起A = 435赫茲，此法并沒有得到官方的認(rèn)可，也因此沒有被大量采納、使用。此種頻率規(guī)格即稱為“物理學(xué)音高”。

1926年，美國(guó)樂(lè)器廠商首先制定了以440Hz作為A音的標(biāo)準(zhǔn)，并以此標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)樂(lè)器。要知道那時(shí)的美國(guó)音樂(lè)實(shí)力已經(jīng)強(qiáng)大到足以與歐洲抗衡，而美國(guó)的樂(lè)器則更是行銷全球。因此到1936年美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)委員會(huì)正式推薦將中央C上面的A音的頻率定為440Hz。1955年，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)委員會(huì)ISO正式接受這一推薦，A-440就成為了ISO的第16號(hào)標(biāo)準(zhǔn)。從那時(shí)起，全世界的音樂(lè)就都在一個(gè)調(diào)上了。

關(guān)于音調(diào)的歷史大概就是這些了。接下來(lái)我們就具體研究一下，這些調(diào)到底是什么調(diào)。

二、調(diào)性

有了十二平均律，轉(zhuǎn)調(diào)不再成為問(wèn)題，因此人們就能夠以不同的音為主音按大調(diào)式或小調(diào)式構(gòu)造出不同的音階，這些設(shè)定了主音的音階序列就稱為調(diào)性。先來(lái)研究大調(diào)式的所有調(diào)性。

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)大調(diào)的音程關(guān)系為“全全半全全全半”，那么從12音階中的任意一個(gè)音作為主音都可以得到一個(gè)調(diào)性。再次列出12音階的音名：

01234567891011

CC#/DbDD#/EbEFF#/GbGG#/AbAA#/BbB

調(diào)性的名稱就是主音的音名，12音階中有7個(gè)音名是不帶升降號(hào)的，因此以這些音為主音的調(diào)性的名稱是統(tǒng)一的。然而還有5個(gè)音都具有兩個(gè)音名，例如第2音可以用C#表示也可以用Db表示。這樣一來(lái)調(diào)性的命名就變得混亂了。為了統(tǒng)一命名方式，人們規(guī)定這12個(gè)調(diào)性的名稱分別為：{C, G, D, A, E, B, F#, Db, Ab, Eb, Bb, F}，并規(guī)定以C、G、D、A、E、B、F#為主音的調(diào)性用升號(hào)#標(biāo)記五線譜的升降，其它調(diào)性用降號(hào)b標(biāo)記五線譜的升降。

首先我們很容易就可以做出C大調(diào)，因?yàn)橐訡為主音的7音階<C D E F G A B>都不帶升降號(hào)，因此C大調(diào)譜是沒有升降號(hào)的，見圖6所示。

圖6 C大調(diào)音階

根據(jù)之前所學(xué)知識(shí)，我們很容易構(gòu)造出其它大調(diào)，構(gòu)造所有小調(diào)的原理也相同。這樣我們就一共可以獲得12個(gè)大調(diào)和12個(gè)小調(diào)。其中12個(gè)大調(diào)見圖7所示。

圖7 除C大調(diào)外11個(gè)大調(diào)的音階（Gb和F#實(shí)為同一個(gè)調(diào)）

由于Gb調(diào)中每個(gè)音符都降了半音，F(xiàn)#調(diào)中每個(gè)音符都升半音的本質(zhì)是相同的，因此和它們是同一個(gè)調(diào)。此外，有些譜子會(huì)用7個(gè)降號(hào)來(lái)表示Cb大調(diào)，實(shí)際上C降半音就是B，那么Cb大調(diào)就是B大調(diào)。還有7用個(gè)升號(hào)表示C#大調(diào)，C升半音就是Db，因此C#大調(diào)就是Db大調(diào)。這樣一來(lái)，Bb大調(diào)所有音升半音就得到了B大調(diào)，Eb大調(diào)所有音升半音就得到了E大調(diào)，F(xiàn)#大調(diào)所有音降半音就得到了F大調(diào)，其它的升降大調(diào)也是相同。大調(diào)確定了，關(guān)系小調(diào)也就可以確定了。為了便于記憶這24個(gè)調(diào)，有人發(fā)明了五度圈圖示法，見圖7所示。

圖7 調(diào)性五度圈

在五度圈的最外圈是大調(diào)的12個(gè)調(diào)性，內(nèi)圈是各大調(diào)對(duì)應(yīng)的關(guān)系小調(diào)。順時(shí)針相鄰兩個(gè)大調(diào)的主音相差五度，小調(diào)亦然。圈里面的數(shù)字是該調(diào)性的五線譜中升降號(hào)的數(shù)量。最頂上的C大調(diào)沒有任何升降號(hào)，順時(shí)針?lè)较蛏?hào)依次增多，逆時(shí)針?lè)较蚪堤?hào)依次增多。最下面的Gb調(diào)和F#調(diào)實(shí)際上是一個(gè)調(diào)，只是記譜不同而已，可使用6個(gè)降號(hào)表示，也可使用6個(gè)升號(hào)表示。

對(duì)于五度圈右邊的每個(gè)升號(hào)大調(diào)，從F開始以逆時(shí)針?lè)较驍?shù)，到它前面的2格為止，都是它的音階中要升半音的音符，例如E大調(diào)的音階中F、C、G、D都升半音，對(duì)于B大調(diào)的音階中，F(xiàn)、C、G、D、A都要升半音。對(duì)于左側(cè)的降號(hào)大調(diào)，則是從B開始以逆時(shí)針?lè)较驍?shù)，到它正對(duì)面調(diào)都是它的音階中要降半音的音符，例如Ab大調(diào)的音階中B、E、A、D都要降半音，Db大調(diào)的音階中B、E、A、D、G都要降半音。

五度圈還有一些規(guī)律要知道，從任何一個(gè)音開始逆時(shí)針數(shù)，第一個(gè)音與它的音數(shù)是2.5；順時(shí)針數(shù)第一個(gè)是3.5。這個(gè)規(guī)律可以幫你用五度圈來(lái)推算音程。比如要求G到F#的音程，從五度圈可知F#是G順時(shí)針?lè)较虻?個(gè)，(5*3.5)%6=5.5，即大七度。再看從F到Ab，是逆時(shí)針第3個(gè)，(3*2.5)%6=1.5，即小三度。取模神馬的對(duì)碼農(nóng)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)直弱爆了，呵呵。

用上面的規(guī)律和方法，我們可以從五度圈中可以推導(dǎo)出所有的音程關(guān)系、音階和調(diào)性，因此說(shuō)大半的樂(lè)理都在五度圈里了。但它的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，被眾多文藝生視為洪水猛獸，對(duì)于理工科人如何呢？告訴您一個(gè)小技巧那就是肥貓下樓吃面包的故事。上午11點(diǎn)，貓餓了，所以FatCatGoDownAndEatBread； 到下午6點(diǎn)貓又餓了，再次GoDownAndEatBread。也就是說(shuō)從五度圈的11點(diǎn)開始，順時(shí)針?lè)较蛞来问荈CGDAEB，從6點(diǎn)鐘開始又是GDAEB，由于是晚上這些音都要降半音，即在后在面都加個(gè)b。這樣就好記多了吧？為了方便朋友們復(fù)習(xí)和查閱，我制做了一幅音程表和五度圈的一體圖，見圖8。

圖8 音程表與五度圈（點(diǎn)擊放大）

音程與音數(shù)的對(duì)應(yīng)記憶起來(lái)稍難一些，但是也有技巧。音程口決是：“小大小大純?nèi)?，小大小大?/strong>”。前7個(gè)從小二度開始，后5個(gè)從小六度開始。掰指頭數(shù)一下這個(gè)音程排在總第幾位，除以2就是它的音數(shù)。比如小七度排在第10位，音數(shù)就是5。

到這里所有有關(guān)音調(diào)的基礎(chǔ)樂(lè)理就介紹完了，有不周之處，請(qǐng)多擔(dān)待。不過(guò)如果您把之前的課程都認(rèn)真的學(xué)通了，那么這些樂(lè)理知識(shí)足以讓您在學(xué)習(xí)任何樂(lè)器時(shí)都不會(huì)對(duì)音和調(diào)的問(wèn)題產(chǎn)生困擾。此外，如果您還想嘗試音樂(lè)創(chuàng)作或評(píng)論，這些內(nèi)容也是重要的基本功。

三、總結(jié)

本還想加入一些賞析的內(nèi)容，但是由于我要忙其它的事情，因此沒有時(shí)間來(lái)寫了，等后面再補(bǔ)充吧。

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