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2023-03-19 00:29 作者:咪央鶴兒 0人讀過(guò) | 我要投稿

$§$ 張, 線性無(wú)關(guān)

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$§$ 張, 線性無(wú)關(guān)
張
線性無(wú)關(guān)

張

def.向量組(a list of vectors)

將 $V$ 中的幾個(gè)向量(有限或無(wú)限)寫在一起, 用逗號(hào)隔開, 形如 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ , 其中每個(gè)向量屬于 $V$ , 稱為一個(gè)向量組

一個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的長(zhǎng)度

def.線性組合(linear combination)

對(duì)于 $F$ 上的線性空間 $V$ 和 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ , 稱以下的的形式
$a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + ? + a^{n} v^{n}$
為向量組 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 的線性組合, 其中 $a^{i} \in V, ? i$ .
空向量組張成的空間我們?nèi)藶槎x為 ${0}$ .

現(xiàn)在我們可以重新考慮子空間的定義, 我們可以重新定義其為對(duì)線性組合封閉的非空集合與原空間上的運(yùn)算.

def.一個(gè)向量組張成的空間(span)

定義向量組 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 張成的空間為這個(gè)向量組所有的線性組合, 即
$s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n}) := {v^{1}, v^{2} ? v^{n} 的所有線性組合} = {a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + ? + a^{n} v^{n} : a^{i} \in F, ? i}$

驗(yàn)證這個(gè)定義是良定義的, 即驗(yàn)證一個(gè)向量組的所有線性組合 $U$ 構(gòu)成一個(gè)線性空間.

封閉性: 對(duì)于 $u^{1}, u^{2} \in U$ , 記 $u^{i} = 1 \leq j \leq n \sum a^{ij} v^{j} \in U, i = 1, 2$ . 驗(yàn)證 $λ^{1} u^{1} + λ^{2} u^{2} \in U$ 即可.
顯然, $λ^{1} u^{1} + λ^{2} u^{2} = λ^{1} \sum a^{1 j} v^{j} + λ^{2} \sum a^{2 j} v^{j} = \sum (λ^{1} a^{1 j} + λ^{2} a^{2 j}) v^{j} \in U$
零元: 由于這個(gè)集合顯然非空, 零元存在這一點(diǎn)自動(dòng)成立.

cor.

一個(gè)向量組張成的空間是被屬于這個(gè)向量組的最小子空間, 即任何包括這個(gè)向量組的任何線性空間都包含這個(gè)向量組張成的空間.

proof
這個(gè)事實(shí)是顯然的. 因?yàn)橛勺涌臻g對(duì)線性組合的封閉性, 任何被屬于這個(gè)向量組的線性空間都被屬于這個(gè)向量組的任何線性組合, 也就包含這個(gè)向量組張成的線性空間. $□$

def.張(spans)

若 $s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n}) = V$ , 我們稱 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 張成(spans) $V$ .
這里用單三, 因?yàn)橄蛄拷M被我們看作一個(gè)單獨(dú)的對(duì)象.

ex.

$s p an (e^{1}, e^{2} ? e^{n}) = F^{n}$ , 其中
$e^{i} = (0, 0 ?, 1, ? 0) ↑ i th$

proof
$F^{n} = {(x^{1}, x^{2} ? x^{n}) : x^{i} \in F, ?1 \leq i \leq n}$ , 對(duì)于其中的每個(gè)向量 $v$ , 有
$v = (x^{1}, x^{2} ?, x^{n}) = i \sum x^{i} e^{i}$
故 $F^{n} ? s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n})$ , 相反方向的屬于也成立因?yàn)?span id="5tt3ttt3t" class="katex"> $e^{i}$ 是 $F$ 中的向量, 故其張成的空間是 $F^{n}$ 的子空間, 故這兩個(gè)空間相同. $□$

def.有限維線性空間(finite-dimentional vector space)

稱 $V$ 是一個(gè)有限維線性空間, 若存在有限長(zhǎng)的向量組能張成 $V$

上面那個(gè)例子中, 我們發(fā)現(xiàn) $F^{n}$ 是有限維線性空間, 因?yàn)?span id="5tt3ttt3t" class="katex"> $(e^{1}, e^{2} ? c^{n})$ 的長(zhǎng)度是 $n$ , 是有限的.

對(duì)于以后提到的線性空間, 如果沒(méi)有特殊說(shuō)明, 我們總假設(shè)它是有限維的.

def.數(shù)域上的多項(xiàng)式(polynomial)

對(duì)于數(shù)域 $F$ , 稱如下的形式為一個(gè) $z$ 的 $F$ 系數(shù)多項(xiàng)式
$p (z) = a^{0} + a^{1} z + ? + a^{n} z^{n}$
其中 $a^{i} \in F$ , $? i$ , $z$ 是一個(gè)符號(hào)(可以替換為很多對(duì)象, 不知是數(shù))
特殊地, 對(duì)于 $z \in F$ , 我們將 $p : F \to F$ 組成的線性空間稱作 $F$ 上的多項(xiàng)式組成的空間, 記作 $P (F)$

我們能很容易地驗(yàn)證 $P$ 是線性空間, 也是 $F^{F}$ 的子空間

非空: $0 \in P (F)$
封閉: $(p^{1} + p^{2}) (z) = p^{1} (z) + p^{2} (z) = (a^{0} + a^{1} z + ? + a^{n} z^{n}) + (b^{0} + b^{1} z + ? + b^{n} z^{n}) = (a^{0} + b^{0}) + (a^{1} + b^{1}) z + ? + (a^{n} + b^{n}) z^{n}$ , 其中 $n$ 是兩個(gè)多項(xiàng)式次數(shù)中較大者. 故 $p^{1} + p^{2} \in P (F)$

一個(gè)事實(shí)

多項(xiàng)式的系數(shù)與多項(xiàng)式一一對(duì)應(yīng)

proof
一組系數(shù)只能與一個(gè)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng), 這一點(diǎn)是顯然的;
而對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式, 假設(shè)其對(duì)應(yīng)于兩組系數(shù), 把二者相減得到 $0$ , 而 $0$ 的系數(shù)必然全為 $0$ , 故兩組系數(shù)相同.
由系數(shù)的唯一性, 我們可以定義一個(gè)多項(xiàng)式的階(degree)

多項(xiàng)式的階

對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式 $p$ , 一定存在一個(gè) $m$ 使得
$p (z) = a^{0} + a^{1} z + ? + a^{m} z^{m}$ 且 $a^{m} \neq = 0$ . 對(duì)于這種多項(xiàng)式, 我們稱其為 $m$ 階多項(xiàng)式, 記為 $de g p$ .
人為規(guī)定 $de g 0 = ? \infty$

def. $P^{m} (F)$

定義這樣一個(gè)線性空間 $P^{m} (F) := {p \in P (F) : de g p \leq m}$

fact: $P^{m} (F)$ 是線性空間, 因?yàn)樗? $P (F)$ 的子集且封閉(這一點(diǎn)跟容易驗(yàn)證).

def.無(wú)限維線性空間

不是有限維的線性空間稱為無(wú)限維線性空間

ex.

$P (F), F^{S}, F^{F}$ 都是無(wú)限維線性空間

線性無(wú)關(guān)

考慮 $v \in s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n})$ , 將其寫成
$v = a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + ? + a^{n} v^{n}$ 若 $v$ 也可以寫成
$v = c^{1} v^{1} + c^{2} v^{2} + ? + c^{n} v^{n}$ 考慮這樣一個(gè)等式
$0 = v ? v = (a^{1} ? c^{1}) v^{1} + (a^{2} ? c^{2}) v^{2} + ? + (a^{n} ? c^{n}) v^{n}$ 若這個(gè)等式只能是最平凡的情況即 $a^{j} ? c^{j} = 0 ? a^{j} = c^{j}$ , 我們就管這種情況叫 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 線性無(wú)關(guān).

def.線性無(wú)關(guān)

稱一個(gè)向量組 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 線性無(wú)關(guān), 若 $0 = a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + ? + a^{n} v^{n} ? a^{j} = 0, ? j$ .
規(guī)定空向量組自動(dòng)線性無(wú)關(guān).

這個(gè)定義意思即是 $0$ 只能被向量組 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 以一種方式線性表出, 即 $s p an (v^{1}) \oplus s p an (v^{2}) \oplus ? \oplus s p an (v^{n})$ 是直和.
我們可以很容易第推出這種定義與我們引出線性無(wú)關(guān)概念的方式也是等價(jià)的, 即 $s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n})$ 中每個(gè)向量表法都唯一.

ex.線性無(wú)關(guān)向量組

一個(gè)非零向量的向量組自動(dòng)線性無(wú)關(guān)
兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是兩者互相都不是對(duì)方乘以某一個(gè)數(shù)
$(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)$ 線性無(wú)關(guān)
$1, z, z^{2}, z^{3}$ 是 $P (F)$ 中的一組線性無(wú)關(guān)向量

fact
一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組去掉若干向量后仍線性無(wú)關(guān)

proof
經(jīng)過(guò)重排, 假設(shè)去掉的是長(zhǎng)度為 $n$ 的向量組中的后 $n ? m$ 個(gè), 即去掉后還剩下前 $m$ 個(gè).
由 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 線性無(wú)關(guān)可知 $a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + ? a^{n} v^{n} = 0 ? a^{i} = 0, ? i$ . 考慮 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 的線性無(wú)關(guān)性.
$b^{1} v^{1} + b^{2} v^{2} + ? b^{m} v^{m} = 0 ? (b^{1} v^{1} + b^{2} v^{2} + ? b^{n} v^{n} = 0) \land (b^{m + 1} = b^{m + 2} = ? = b^{n} = 0) ? b^{i} = 0, ? i$ 可見(jiàn) $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 線性無(wú)關(guān). $□$

def.線性相關(guān)

稱一個(gè)向量組線性相關(guān), 如果它不是線性無(wú)關(guān)的
即稱向量組 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 線性相關(guān), 若 $? a^{1}, a^{2} ? a^{n}$ 使得 $a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + ? a^{n} v^{n} = 0$

任何向量組中, 若存在一個(gè)向量可被其他向量線性表出, 則其一定線性相關(guān)
任何含有 $0$ 的向量組都是線性相關(guān)的

這兩個(gè)事實(shí)是顯然的

lem.1

a) 對(duì)于一個(gè)線性相關(guān)向量組 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ , 一定存在一個(gè) $m$ 使得 $v^{m}$ 可被 $v^{1}, v^{2} ? v^{m ? 1}$ 線性表出.
b) 對(duì)于這樣的 $v^{m}$ , 這個(gè)向量組去掉 $v^{m}$ 之前與之后張成的空間相同.

proof
對(duì)于第一個(gè)命題, 我們證明它的逆否命題. 即: 若一個(gè)向量組的每個(gè)向量都不能被它之前的所有向量線性表出, 則它是一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組.
我們用數(shù)學(xué)歸納法, 向量組長(zhǎng)度為 $0$ 或 $1$ 的情況平凡(對(duì)于長(zhǎng)度為 $1$ 的情況, 我們認(rèn)為 $0$ 可被空向量組表出, 故這種情況是成立的)
長(zhǎng)度為 $2$ 的情況: $v^{1}$ 不能被其前面的向量組線性表出, 即不能被空向量組線性表出, 保證了 $v^{1} \neq = 0$ , $v^{2}$ 不能被 $v^{1}$ 線性表出, 即 $v^{2} \neq = b v^{1}, ? b \in F$ .
對(duì)于第二個(gè)命題, 我們考慮 $v^{m} = a^{1} v^{1} + a^{2} v^{2} + ? + a^{m ? 1} v^{m ? 1}$ , 故
$s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n}) = {b^{1} v^{1} + b^{2} v^{2} ? b^{n} v^{n} : b^{i} \in F} = b^{1} v^{1} + ? b^{m} (1 \leq j \leq m ? 1 \sum a^{j} v^{j}) + ? + b^{n} v^{n} = {(b^{1} + a^{1}) v^{1} + ? + (b^{m ? 1} + a^{m ? 1}) v^{m ? 1} + ? b^{n} v^{n} : a^{i}, b^{i} \in F, ? i} ? s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{m ? 1}, v^{m + 1} ? v^{n})$ 相反方向的包含關(guān)系是顯然的, 所以二者相等. $□$

a)的逆否命題是: 若一個(gè)向量組的每個(gè)向量都不能由前面的向量線性表出, 則其線性無(wú)關(guān). 可以立即得出一個(gè)推論, 若有一線性無(wú)關(guān)向量組 $v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ , 且 $v^{n + 1} \in / s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n})$ , 有 $v^{1}, v^{2} ? v^{n + 1}$ 還是線性無(wú)關(guān)的.

lem.線性無(wú)關(guān)組長(zhǎng)度不能超過(guò)張成空間向量組長(zhǎng)度

線性空間 $V$ 中的每個(gè)線性無(wú)關(guān)組的長(zhǎng)度小于任意能張成這個(gè)線性空間的向量組的長(zhǎng)度(后面我們會(huì)看到這個(gè)長(zhǎng)度是唯一的)
即 $V = s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n})$ 中的每個(gè)線性無(wú)關(guān)組的長(zhǎng)度小于 $n$ .

proof
假設(shè) $s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n})$ 中有一線性無(wú)關(guān)組 $u^{1}, u^{2} ? u^{m}$ , 其長(zhǎng)度 $m$ 大于 $n$ .
首先我們知道 $u^{i} \neq = 0, ? i$ , 否則這個(gè)向量組直接線性相關(guān), 矛盾
我們以這樣的步驟構(gòu)造一個(gè)向量組:

第 $1$ 步, 考慮如下的向量組
$u^{1}, v^{1}, ? v^{n}$ 由 $l e m .1, a)$ 可知, 一定存在一個(gè)向量能被前面的向量線性表出. 且這個(gè)向量不是 $u^{1}$ , 否則與 $u^{1}$ 非 $0$ 矛盾. 故一定是某個(gè) $v^{k}$ 能被前面的向量線性表出, 由引理的 $b)$ 款可以知道, 去掉這個(gè)向量之后仍能張成原來(lái)的線性空間. 將去掉后剩下的 $v$ 重新排序(因?yàn)?span id="5tt3ttt3t" class="katex"> $v$ 的順序在這個(gè)證明中是不重要的)為 $v^{1}, v^{2} ? v^{k ? 1}, v^{k + 1} ? v^{n} := v^{2}, v^{3} ? v^{n}$ , 有
$s p an (u^{1}, v^{2} ? v^{n}) = V$
第j步
假設(shè)向量組 $u^{1}, u^{2} ? u^{j ? 1}, v^{j} ? v^{n}$ 能張成 $V$ , 考慮向量組
$u^{1}, u^{2} ? u^{j}, v^{j} ? v^{n}$ 則一定存在一個(gè)向量能被前面的向量線性表出, 而這個(gè)向量一定不是 $u$ , 否則與 $u^{1}, u^{2} ? u^{m}$ 線性無(wú)關(guān)矛盾, 故一定是某個(gè) $v$ 可以被前面的向量線性表出. 把它去掉后仍能張成 $V$ , 將其重排后記為
$u^{1}, u^{2} ? u^{j}, v^{j + 1} ? v^{n}$

如此進(jìn)行 $n$ 步, 我們得到
$s p an (u^{1}, u^{2} ? u^{n}) = V$ 故 $V ? u^{n + 1}$ 可被 $u^{1}, u^{2} ? u^{n}$ 線性表出, 說(shuō)明這是一個(gè)線性相關(guān)向量組. $□$

ex.

$(0, 1), (1, 3), (3, 5)$ 一定線性相關(guān), 因?yàn)?span id="5tt3ttt3t" class="katex"> $R^{2} = s p an ((1, 0), (0, 1))$ ,只有兩個(gè)向量.

cor.有限維線性空間的子空間也是有限維的

若 $V$ 是有限維線性空間, $U ? V$ , 則 $U$ 也是有限維的

proof
要證 $U$ 是有限維的, 即找一個(gè)有限長(zhǎng)度的向量組張成 $U$ . 由于 $V$ 是有限維的, $? v^{1}, v^{2} ? v^{n}$ 使得 $V = s p an (v^{1}, v^{2} ? v^{n})$
若 $U = {0}$ , 則空向量組能張成 $U$ , 直接成立

若 $U$ 中有非零向量 $u^{1}$ , 則 $u^{1}$ 自己線性無(wú)關(guān), 如果 $U = s p an (u^{1})$ , 則 $U$ 為有限維的, 否則至少有一 $U ? u^{2} \in / s p an (u^{1})$ , 將 $u^{2}$ 添加到向量組中. 由于 $u^{2}$ 不能被前面的向量線性表出, 故這個(gè)向量組還是線性無(wú)關(guān)的.
若已經(jīng)找到了 $k$ 個(gè)向量 $u^{1}, u^{2} ? u^{k}$ , 若 $U = s p an (u^{1}, u^{2} ? u^{k})$ , 直接有限維, 否則至少有一 $u^{k + 1} \in / s p an (u^{1}, u^{2} ? u^{n})$ , 將 $u^{k + 1}$ 添加至向量組, 這還是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組.

若如此進(jìn)行到第 $n + 1$ 步還沒(méi)停止(如果停止了直接就是有限維), 則有一線性無(wú)關(guān)向量組 $u^{1}, u^{2} ? u^{n} \in V$ , 矛盾, 故最多 $n$ 步就會(huì)停止. 故 $U$ 一定為有限維線性空間. $□$

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