拿皇本人

最近一直在搞復(fù)習(xí)考研，雖然我的科目里沒有概率論這個東西但是有些概念在量子力學(xué)、統(tǒng)計物理中還是會體現(xiàn)到，因此對大一學(xué)過的概率論知識做一個總結(jié)回顧。

當(dāng)時考了92分來著，記錯了一個公式與滿分失之交臂，但是并不可惜。

我們在學(xué)習(xí)概率論的時候一定要將其與之前所學(xué)知識做一個聯(lián)系，實際上這也是大學(xué)數(shù)學(xué)（非專業(yè)）的一個學(xué)習(xí)理念——切勿孤立地看待一門課如線性代數(shù)就是線性代數(shù)，高等數(shù)學(xué)就是高等數(shù)學(xué)。實際上它們都是融會貫通的，就像概率論中的連續(xù)隨機(jī)變量，本質(zhì)上就是考察積分學(xué)的應(yīng)用，只不過套了個概率論的皮。而多元函數(shù)積分學(xué)中的某些復(fù)雜題型本質(zhì)上可以通過正交變換進(jìn)行極致的簡化處理。

參考教材是國內(nèi)泛用的浙大四版概率論與數(shù)理統(tǒng)計。

第一章 基本概念 個人評價：又臭又長，背公式做題即可，高中數(shù)學(xué)難度。高中的時候?qū)W這玩意兒就頭大，后來偷懶背題型僥幸過關(guān)。把往年題型擺一起自己研究研究考法完事。

第二章 隨機(jī)變量及其分布

個人建議：如果不定積分運算不熟練的回去找一百道題做一遍后品一遍，保證自己能夠快速寫出來中等難度的不定積分就行。

然后開始正文，關(guān)于隨機(jī)變量的引入，實質(zhì)就是套用函數(shù)模型解題，同時復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識，重溫離散型隨機(jī)變量、分布律：（公式懶得手打了，直接上圖）

0-1分布是二項分布的特殊情形，利用n次伯努利試驗可得到二項分布式。

理解為拋硬幣就行。

順便插一嘴，曾經(jīng)高中考過一道題目，讓我們求k取何值二項分布概率達(dá)到最大。我提供一個思路：

當(dāng)然數(shù)列是離散化的函數(shù)，你也可以將其作為一道函數(shù)題然后求導(dǎo)找最值點并在其周圍取整，這個計算量很大，也是我第一次碰到此類題目的第一種思路。

泊松分布

相信有一部分同學(xué)看到二項分布的時候腦海里會閃現(xiàn)兩個重要極限中的?僅僅是一閃而過，因為它們在形式上的確有相似之處但計算起來或許是很麻煩。

我要告訴大家的是，在n很大且概率p極小的時候，它們可以轉(zhuǎn)換。證明如下：

這個np之積為λ在浙大四版概率論中是預(yù)先設(shè)定的：

這些是離散型隨機(jī)變量的幾個重點知識，當(dāng)然選擇背公式即可，并不是很難理解。因為還沒涉及到函數(shù)的概念，沒有把漿糊搖勻（笑）

隨機(jī)變量的分布函數(shù)：

我打算將后一節(jié)的概率密度也放上來，因為離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)就是一個分段的常函數(shù)階梯，按照這個概念直接比葫蘆畫瓢就可以得到圖像。

看出來什么了嗎，密度在分布域上積分就可以得到分布函數(shù)。如果先學(xué)了分布函數(shù)，一頭霧水的情況下再接受一個陌生的概率密度概念基本就亂完了。但是“密度”這個廣義的概念可以引導(dǎo)我們的思路——類似于線密度，一條質(zhì)量均勻分布的線總質(zhì)量為1，那么密度自然就是，對長度積分就是質(zhì)量，積分得到的函數(shù)就是質(zhì)量分布函數(shù)（假設(shè)這條線在坐標(biāo)軸上，始端到末端中間的任意一點均是可以求出這點到任意一端的質(zhì)量）

分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是概率密度函數(shù)，因此可以拿出曾經(jīng)學(xué)過的積分與原函數(shù)的關(guān)系亦或者函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系來套概念。

有了概念，就要有實際應(yīng)用模型：（均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布）

已知了概率密度函數(shù)，各位可以求一下分布函數(shù)，并不難。

只要始終把握“概率論外表，函數(shù)本質(zhì)”就不會被繁多的定義與概念搞糊涂，對我而言它就是一道道函數(shù)應(yīng)用題，加了概率論的附帶條件罷了。就像曾經(jīng)的高中物理，力學(xué)永遠(yuǎn)是本質(zhì)，電學(xué)大題與熱學(xué)選修題都是換皮的力學(xué)題目罷了。

然后順便把這個3Σ法則復(fù)習(xí)一下~

以上的內(nèi)容僅通過記憶就可以解決，并多加練習(xí)。

對于初學(xué)者有難度的還是在第五節(jié)“隨機(jī)變量函數(shù)分布”中已知X的概率密度反求Y=F(X)概率密度函數(shù)的題型。沒錯，我第一次學(xué)的時候也是一頭霧水，后來發(fā)現(xiàn)這不就是玩了個“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則”？

題來！

雖然這是一道簡單不過的例題，但凡是數(shù)學(xué)題都講究一個程序化解題，規(guī)范步驟。既然一頭霧水，那就按照我說的去做絕對沒問題。

首先，求出新元的定義域，因為在這里我們做了一個換元操作。

?

其次，構(gòu)造一個不需要求出來的分布函數(shù)F(X)，我們只是利用F與f的關(guān)系

然后，新元是Y，從F(Y)變成f(Y)進(jìn)行一個復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)就行：

f(Y)=?

這樣就不會出錯了，至于符號之類的想必各位都會處理。還有就是靈活運用“正難則反”思想，利用補(bǔ)集快速求答案。

然后是多維隨機(jī)變量，在學(xué)習(xí)這個之前仍然希望各位挑一些重積分的題目練習(xí)計算能力，因為重積分的計算貫穿了這一章。類比一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)，多維度的自然不難理解其性質(zhì)：（這里重點研究二維）

只要你能理解一維，那么將其推廣即可。就像我們曾經(jīng)舉線密度的例子，這里引申為面密度，整塊版面的質(zhì)量為1，在某個長為a寬為b的矩形區(qū)域里均勻分布。

至于應(yīng)用...暫時先寫這么多，各位如果有意見的話可以反饋一下，盡量做到快速上手/復(fù)習(xí)。當(dāng)然我的作用僅僅是一個提綱，一個信標(biāo)罷了，真正細(xì)細(xì)琢磨知識點與做題練習(xí)還要靠各位自己。下面更新的是多維隨機(jī)變量的后續(xù)部分與隨機(jī)變量的數(shù)字特征。