一道高數(shù)錯題||測地線和梯度真的有關(guān)系嗎
前段時間，關(guān)于一次高數(shù)作業(yè)中的一道題目，我們和由教授的意見產(chǎn)生了分歧。這是一道關(guān)于曲面上求最短路徑的題目。(你會不會覺得這個問題出現(xiàn)在高數(shù)有點奇怪？)題目大意如下：
已知二元函數(shù)
，它確定一個曲面，曲面上有兩點
，求曲面上連接兩點曲線的最短路徑。
初看“曲面上的最短路徑”，我的直覺讓我想到兩個思路：求題述曲面上的測地線；用變分法求解?！皽y地線”這個概念出現(xiàn)在我不太了解的微分幾何，但是我大概知道測地線是連接兩點的總長取極值的曲線。然而并不會微分幾何的我對于測地線如何求束手無策。
接下來考慮變分法，這個方法無非暴力一點，還不至于不會：
設(shè)題述最短曲線在的投影是曲線
，則曲線總長為：
可以證明，當(dāng)總長取極值時，函數(shù)
將滿足拉格朗日方程：
再看到積分式里面的形式，代入拉格朗日方程再展開，我就知道這大概不是我手算能解決的微分方程了...(下面的是用mathematica化簡的結(jié)果)
當(dāng)時覺得肯定有其他簡單的解法?；厮奚岬穆飞?，與同學(xué)討論，聽到一種說法：只要路徑在每一點都沿梯度方向，就可以保證最快上升，從而是最短路徑?？紤]到這題正好是梯度那一節(jié)的習(xí)題，似乎這正是出題者的意思。事實上，后來教授講題時也是說的這個解法。
當(dāng)時仍然感到疑惑，畢竟梯度和測地線好像并沒有如此直接的聯(lián)系。仔細(xì)想想，好像說的很有道理，但又感覺哪里不對。至少，先看看每點取梯度會得到什么曲線：
代入邊界條件易得. 我們簡單用Geogebra在曲面上畫一下這條曲線：
這...一看就不像最短路徑吧？
當(dāng)然，物理人必須嚴(yán)謹(jǐn)，讓我們證明這個曲線是錯誤的。打開Mathematica，
輸出拉格朗日方程左邊的簡化形式：
接下來，定義，計算上面表達式的值：
然后點擊旁邊彈出的“繪圖”，你就會看到：
這明顯不是0. 這意味著，逐點取梯度這個解連拉格朗日方程都不滿足，肯定不是正確答案。
說了這么多，真正的解到底應(yīng)該是什么？讓我們用Mathematica試著解一下前面的拉格朗日方程.把Out[3]那一大串表達式的分子復(fù)制出來并令其為0，解微分方程：
這里把y都替換為Y是因為前面已經(jīng)定義y[x]，會導(dǎo)致變量名沖突而不能正常運行。
可以看到系統(tǒng)直接把我們的輸入吐了回來：它根本不會解?？磥碇荒苌蠑?shù)值解了，直接把DSolve改為NDSolve：
于是我們終于得到了
雖然一時還看不出這是個什么函數(shù)，但至少可以畫個三維圖看一眼：
這一次確實是正確結(jié)果了。
只是，我們?nèi)晕粗肋@個方程到底有沒有解析解...
參考文獻
[1] 周邁，張陽，由同順. 高等數(shù)學(xué)(下冊)[M]. 天津：南開大學(xué)出版社，2017.2，54.
