中考數(shù)學(xué)關(guān)于等腰三角形的存在性問(wèn)題是非常常見(jiàn)的，通常還有多種可能性，遇到這樣的問(wèn)題應(yīng)該怎么解決呢？我們直接來(lái)看一道實(shí)例吧。

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A, C兩點(diǎn)，分別過(guò)A, C兩點(diǎn)作x軸、y軸的垂線相交于點(diǎn)B，且OA, OC(OA>OC)的長(zhǎng)分別是一元二次方程x^2-14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求直線MN的解析式；

(3)在直線MN上存在點(diǎn)P，使以P, B, C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo).

分析：(1)解一元二次方程，得到的兩個(gè)根中，較小的是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，較大的是A點(diǎn)的橫坐標(biāo)。從而得到A，C的坐標(biāo)。還可以得到B點(diǎn)的坐標(biāo)。雖然要求的只是C點(diǎn)的坐標(biāo)，但A，B的坐標(biāo)后面要用到。

(2)這里主要運(yùn)用直線斜率的一個(gè)公式，只要直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，那么斜率k等于負(fù)的縱軸截距b除以橫軸截軸a。用字母表示，可以寫(xiě)成k=-b/a。

(3)可以先在圖中找到符合條件的各個(gè)P點(diǎn)。理論上最多可以有六種，其中三種是銳角三角形，三種是鈍角三角形。不論是哪一類，都包括三邊兩兩相等的三種情況。不過(guò)有一些情況并不存在。比如當(dāng)|PC|=|BC|時(shí)，可能構(gòu)成鈍角三角形(點(diǎn)P在點(diǎn)C的上方)，也可能構(gòu)成銳角三角形(點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方)。而當(dāng)|PC|=|PB|，或|PB|=|BC|時(shí)，都只存在鈍角三角形。這是底角小于45度決定的。而底角小于45度，又是OA>OC決定的。

這樣就可以通過(guò)兩腰相等列方程，從而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)了。其中會(huì)運(yùn)用到兩點(diǎn)的距離公式，或中點(diǎn)公式。又與一元二次方程求解有關(guān)。題目要求直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，但這么復(fù)雜的過(guò)程，不可能直接跳過(guò)?？梢詫?xiě)在草稿紙上，老黃這里就直接寫(xiě)入解題過(guò)程中了。

解：(1)解方程x^2-14x+48=0，得x1=6, x2=8.

∴C(0,6), A(8,0), B(8,6).

(2)直線MN的斜率為：k=-6/8 = -3/4.

直線MN的解析式為：y= -3/4 x+6. 【這是直線的斜截式：y=kx+b】

(3)可設(shè)P(x, -3x/4+6)，【因?yàn)镻點(diǎn)在MN上】

當(dāng)|PC|=|BC|=8時(shí), x^2+(-3x/4+6-6)^2=64,【兩點(diǎn)距離公式的運(yùn)用，兩邊同時(shí)進(jìn)行了平方】

解得：x=32/5 或-32/5；-3x/4+6=6/5或54/5.【這就得到了P點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)，最后一起總結(jié)】

當(dāng)|PC|=|PB|時(shí), x=4, -3x/4+6=3.【這是中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是BC水平的中點(diǎn)，縱坐標(biāo)是OC豎直的中點(diǎn)】

當(dāng)|PB|=|BC|=8時(shí), (x-8)^2+(-3x/4+6-6)^2=64.

解得： x=256/25或x=0(舍去)；-3x/4+6= -42/25.【當(dāng)x=0時(shí)，P點(diǎn)與C點(diǎn)重合，構(gòu)不成三角形】

∴P(-32/5, 54/5)或(4,3)或(32/5, 6/5)或(256/25, -42/25).

距離中考只有一百天左右了。老黃又想開(kāi)始寫(xiě)一些中考相關(guān)的題目分析了。