【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)55】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）
《解析幾何》（呂林根 許子道?編）
《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——
設(shè)an=1+1/2^ɑ+……+1/n^ɑ，ɑ>1，證明：{an}收斂.
證：
顯然{an}是遞增數(shù)列；
當(dāng)n>=2時(shí)，
a2n
=1+1/2^ɑ+……+1/（2n）^ɑ
=[1+1/3^ɑ+……+1/（2n-1）^ɑ]+[1/2^ɑ+……+1/（2n）^ɑ]
<[1+1/3^ɑ+……+1/（2n-1）^ɑ+1/（2n+1）^ɑ]+[1/2^ɑ+……+1/（2n）^ɑ]
<[1+1/2^ɑ+……+1/（2n-2）^ɑ+1/（2n）^ɑ]+[1/2^ɑ+……+1/（2n）^ɑ]
=1+2[1/2^ɑ+……+1/（2n-2）^ɑ+1/（2n）^ɑ]
=1+2{[1+……+1/n^ɑ]/2^ɑ}
=1+an/2^（ɑ-1）；
an<a2n，則an<1+an/2^（ɑ-1），則an<2^（ɑ-1）/[2^（ɑ-1）-1]=1/[1-1/2^（ɑ-1）]，故{an}是有界的，根據(jù)單調(diào)有界定理可知數(shù)列{an}是收斂的。
解析幾何——
例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編著）》）——
證明（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）.
證：
（axb，cxd，exf）
=（（axb）x（cxd））（exf）
=（（a，b，d）c-（a，b，c）d）（exf）
=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）.
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——
設(shè)A為n階矩陣，滿足AA'=E，|A|<0，求|A+E|.
解：
AA'=E，則|AA'|=|A||A'|=|A|^2=1；
|A|<0，則|A|=-1；
|A+E|=|AE+AA'|=|A||E+A'|=-|E+A'|=-|E+A|，所以|A+E|=0.
到這里！
