在數(shù)列這單元常見(jiàn)的圖形數(shù)就是 1+2+3+..._n 這些三角數(shù)。若將這個(gè)往三維發(fā)展時(shí)，就是三角垛的問(wèn)題。其中堆垛的數(shù)量就是 1+(1+2)+(1+2+3) +...+(1+2+3+...+n) 。在這節(jié)就將利用 Geogebra 的立體繪圖區(qū)來(lái)圖示這個(gè)三角垛堆。

補(bǔ)充 ：三角垛級(jí)數(shù)的總和公式。

關(guān)于 ?1+(1+2)+(1+2+3) +...+(1+2+3+...+n)? 這數(shù)列的總和公式可以參考如下圖形說(shuō)明。以 n = 4 為例，將 1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4） 排成一個(gè)三角形。接著將這三角形旋轉(zhuǎn) 120 度，可得另兩個(gè)有這些數(shù)構(gòu)成的三角形。將對(duì)應(yīng)的位置作累加，可得每個(gè)位置的和都是 6，因此這旋轉(zhuǎn)三次后的數(shù)字總和為 6*(1+2+3+4)，所以，一堆的和為 (4*5*6)/(2*3) 。而將此推廣到 n 層時(shí)，就可得到公式 n(n+1)(n+2)/(3*2*1)

任務(wù)一 利用雙層序列來(lái)繪制三角形

這節(jié)最主要利用雙層序列來(lái)完成三角形點(diǎn)列的繪制，再使用雙層序列要注意兩個(gè)要點(diǎn)。一個(gè)是內(nèi)層序列 i 的范圍為從 0 到 n-1-j ，這時(shí)才會(huì)隨著 j 的增大，讓每一個(gè)橫列的數(shù)量減少。另一個(gè)是利用 vx 與 vy 來(lái)控制點(diǎn)列延伸的方向。

PXs?= Sequence( (i,0,0), i, 1, n-1 )

O = (0,0,0)

vx = Vector( (1,0,0) )

vy = Vector((1/2, 3**0.5/2, 0)

PXYs=序列(序列(O+i vx+j vy, i, 0, n-1-j), j, 0,n-1)

任務(wù)二 利用三層序列來(lái)繪制三角垛

在此節(jié)基于前一節(jié)的結(jié)果再往 vz 方向延伸。在往 k?延伸時(shí)，i,j 也要隨之縮小。因此，i 的范圍為 n-1-j-k。 而 j 的范圍為 n-1-k。同時(shí)為了在點(diǎn)列上套上個(gè)圓球，先用 flatten 將三層序列 PXYZs 扁平化為 fPXYZs，接著再對(duì)??fPXYZs 作球序列?SfPXYZs。

PXYZs=Sequence(Sequence(Sequence(O+i vx+j vy+k vz,i,0,n-1-j-k),j,0,n-1-k),k,0,n-1)

fPXYZs = flatten(PXYZs)

SfPXYZs = Sequence(Sphere(fPXYZs(k),0.5),k,0.5,length(fPXYZs))

任務(wù)三 取得三角垛的截面

為了方便顯示三角垛的截面，我們可對(duì)三層序列取得其中第 t?層序列 Pt，來(lái)作橫截面，接著再對(duì)這截面作圓球序列即可得到截面上的圓球。

t = Slider(0,n,1,1,100)

Pt?= Flatten(PXYZs(t))

SPt = Sequence(Sphere(Pt(k),0.5),k,1,length(Pt ))

除了橫截面外，還可沿斜切的方向來(lái)作分解。這時(shí)需要先重新定義三角垛的點(diǎn)列 QXYZs ，接著取得其斜截面而得到這結(jié)果。

s = Slider(0,n,1,1,100)

QXYZs=Sequence(Sequence(Sequence(O+vz k+vx i+(vy-vz) j,i,0,n-k-1),j,0,k),k,0,n-1)

Qs?= Flatten(QXYZs(s))

SQs?= Sequence(Sphere(Qs(k),0.5),k,1,length(Qs))

小結(jié)與討論

這節(jié)主要練習(xí)三維序列的使用，在使用三維序列的關(guān)鍵在于練習(xí)每層范圍的設(shè)定。此外，在安排三維中的三角錐中點(diǎn)的位置，利用向量來(lái)達(dá)成也體現(xiàn)向量工具的方便有用。

相關(guān)鏈接

【GGB】https://www.geogebra.org/m/aehckvcz?

【Bili】https://www.bilibili.com/video/BV1YK4y1f7FL?

【公眾號(hào)文】https://mp.weixin.qq.com/s/3SmZig-DF2w8LwdQSz-HSA?

【youtube】https://www.youtube.com/playlist?list=PLXH05kw-i_5L9xMysZaKjju5ulOzEbSnv?