（寫在前面湊字數(shù)）本題集主要由我比較喜歡的平面幾何題目組成，也包括一定量改編或自編題。由于信息有限，部分題目可能無法標注出處。題目難度基本會保持在高聯(lián)難度，有時也會出現(xiàn)一些較簡單或較困難的題。（本題集無任何教育功能或目的，僅供娛樂）

題面：D為三角形ABC邊BC上一點，△ABC，△ABD，△ACD內心分別為I，E，F(xiàn)，IH⊥BC，求證：DEFH四點共圓。

這道題還是比較容易上手的，由內心易得DE⊥DF，即可將問題轉化為證明E，F(xiàn)在BC邊的投影與DH中點重合，而H即E，F(xiàn)的投影都是內切圓切點，還是比較容易刻畫的，這是此題的一般思路。

而當一段時間后重新看這道題時，我又關注到了題中的角。由于I，E，F(xiàn)均為內心，便會產生很多角的關系，進而得到等角共軛等具有特殊性質的點對，那么是否能運用這些性質解題呢？

以下便是這種解法。

由一堆角平分線，倒角得∠PAD=∠QAI，∠PAI=∠CAF，∠QAI=∠BAE。（這里的倒角是很基礎的，就不詳細寫了）又因為IF，IE是角平分線，所以，I，F(xiàn)為△APC的一對等角共軛點。所以∠IPA=∠FPC。同理，∠IQA=∠EQB。再由∠PAD=∠QAI，得AD，EQ，F(xiàn)P三線共點K，且為點I關于△PAQ的等角共軛。

回到要證的問題，由DE⊥DE，只需EH⊥HF，即證∠IHF=∠EHP。

由要證的問題，及三線共點K，想到連接EF交AD于R，交CB延長線于S。由完全四邊形調和性，可得FRES為調和點列。由調和點列的性質，要證垂直，只需證HE為角RHS的角平分線。這里我們發(fā)現(xiàn)了一個引人注目的角等：∠EHS=∠EHR=∠IHF。于是就會有I，K是四邊形AEHF的一對等角共軛點的猜想。如果是，則∠EKH=∠AEI，且∠AFI=∠HFK。而關注到這兩對角，自然也就不難發(fā)現(xiàn)下圖的相似了。

由內心，有∠AFD=∠AIE=90°+1/2∠ACB，和∠EAI=∠DAF于是△AEI∽△ADF。同理，△AIF∽△AED。所以∠AEI=∠ADF=∠FDC，所以要證I，R等角共軛，即證∠FDC=∠FEH。但是，證∠FDC=∠FEH需要DEFH四點共圓，這是我們要證的。證明到這里陷入了僵局。但不要慌，同一法會幫大忙！

我們不妨設△DEF的外接圓再次交BC于X，只需證X于H重合，即IX⊥BC。這時，我們便可以用四點共圓帶來的角等了。結合角平分線和相似，如上圖，倒角易得綠色和粉色的角分別相等。于是我們成功證明了I，R是四邊形AEXF的一對等角共軛點。所以∠RXE=∠IXF。由因為EX⊥XF，結合調和點列的性質，有EX平分∠RXD，于是∠IXF=∠EXD，所以IX⊥BC，即X=H故DEFH四點共圓。到此為止，此題的證明便結束了。

最后放一張全部輔助線吧，圖中H，X重合，這里為了體現(xiàn)同一法犧牲了一點精確度。