今天正式進入“極限論”的內(nèi)容，這部分內(nèi)容是一般《高等數(shù)學(xué)》或是《數(shù)學(xué)分析》中第一個會濃墨重彩花大功夫講述的內(nèi)容，這部分內(nèi)容往往對應(yīng)的習(xí)題計算技巧需要積累的就開始變多了。

實際上老碧覺得跟實數(shù)論那些繞來繞去的內(nèi)容相比，“極限論”部分的理論感很低——雖然這部分內(nèi)容學(xué)好了，之后微積分內(nèi)容的理論部分的證明都會簡單許多許多，所以我們這里除了介紹書上的內(nèi)容之外，會補充一些老碧認為對之后有用的習(xí)題。

另外，其他書上實數(shù)論的闡述，老碧認為還是有一些內(nèi)容需要進行補充的——

一方面，菲赫金哥爾茨這本書上“實數(shù)論”有一小部分的敘述，依然有更加精確縝密的敘述方法，比如張筑生老師在《數(shù)學(xué)分析新講》里面對實數(shù)理論的敘述，不過那個理解起來其實比這本書還是要難一些；

另一方面，優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)的課程網(wǎng)上不難找到。

老碧寫這個系列的初衷——其實是為了重新檢視自己認為復(fù)雜，所以之前沒有耐心好好理解的內(nèi)容；以及，一些因為用處不大，一般會一筆帶過，課程里不會闡述太多的內(nèi)容，進行一些詳細地說明——所以，你可以把這個筆記看作一個輔助學(xué)習(xí)的類似于科普性的內(nèi)容。

或者更簡單的，是老碧學(xué)習(xí)筆記的一個匯總，老碧以后查閱起來會更加方便。

今天簡單介紹一些數(shù)列極限的兩個常用定義，雖然對剛上大學(xué)的同學(xué)會有一定的難度和適應(yīng)期，但是我們之前一個多月知識儲備，這個概念理解起來就很簡單了！

23整序變量（數(shù)列）的極限

上面這就是廣大教材上，大家早已熟悉的數(shù)列極限的第一定義，這個定義來自于將對于數(shù)列極限的自然語言向邏輯語言的翻譯，沒錯，翻譯！——許多時候，數(shù)學(xué)證明、做題、理解等等，都是在把一些已知的信息進行翻譯或者闡釋的過程。

比方說，題目中給了一個條件說0是一個數(shù)列的極限，那么，你就會反應(yīng)過來，去回憶所有對應(yīng)的性質(zhì)，看看哪一條能用上就用哪一條，所以，又一次證明，記憶在理科學(xué)習(xí)中的重要作用。

自然語言描述數(shù)列極限可以簡述為，“數(shù)列的變化趨勢中，最終會無限接近的一個數(shù)字?！?/p>

無限接近的含義我們之前也聊過了，就是我們給出一個任意小的正數(shù)，數(shù)列中都存在一個數(shù)字，使得它與某個確定的數(shù)字的距離小于這個正數(shù)。

但是，對于數(shù)列這種具有確定方向——序的集合，那么，幾何直觀來說——我們以自然數(shù)為橫軸，以數(shù)列每一項的數(shù)值為縱軸，畫出一系列散點，會發(fā)現(xiàn)這些點最終會穩(wěn)定在一條平行于橫軸的線周圍，漸漸有重合的趨勢。

所以，如果a是數(shù)列｛an｝的極限，那么對于我們?nèi)我饨o出的小整數(shù)e，存在一個自然數(shù)N，在n>N，即N之后，所有的an與a的距離都比e小，即|an-a|<e。

書上也對這一點做出了闡釋——

接著書上對數(shù)列極限作出了兩點說明——

我們聊一下第二條說明——我們注意到，數(shù)列極限定義中的N是一個存在性的東西，如果N滿足條件，那么很顯然，任何比N大的自然數(shù)也滿足條件，數(shù)列證明題，往往也就是找到N的題，也就是——解不等式的題，最終得到一個N>……的形式，我們做題的時候，隨便找到一個N滿足條件即可，所以不同的解題思路，解出來的N可能不同。

接著提了一種特殊的有極限的數(shù)列——常數(shù)列——

最后介紹了數(shù)列的幾何意義——

由此得到了凝聚中心，也就是聚點的概念。

聚點定理其實也是“確界原理”的一個等價命題，不過數(shù)學(xué)分析前期存在感不太高罷了，到了點集拓撲學(xué)，就會發(fā)揮重大的作用。

然后書上引入了“無窮小量”的定義，然后給出了數(shù)列極限的第二個常用定義——

24無窮小量

無窮小量即是以0作為極限的數(shù)列，所以它依然是一個數(shù)列，也就是一個特殊且十分有用的變量罷了。

為了防止誤解，書上給出了說明——

最后就是數(shù)列極限的第二，如果算上聚點的定義，也就是第三個定義——

如果一個數(shù)列能夠轉(zhuǎn)化為常數(shù)加一個無窮小的形式，那么這個數(shù)列有極限——偷偷告訴你，這個定義對后面數(shù)項級數(shù)的收斂證明很有用哦！

補充——我們來補充一下，數(shù)列極限的聚點的定義——

1. 必需概念——鄰域，在一維的線上，鄰域可以看作一個有中心的線段，二維平面上，則是有中心的一小塊面，三維到n維則是，有中心的一小塊空間，但是為了方便，一般二維鄰域取圓或正方形，高維取球或立方體；

2. 聚點——我們把數(shù)列里每一項對應(yīng)的所有點都畫在數(shù)軸上，然后我們在某一點的任意小鄰域內(nèi)都發(fā)現(xiàn)存在數(shù)列某一項對應(yīng)的點——按照鄰域和絕對值的幾何意義，我們已經(jīng)得到了這個定義和數(shù)列第一定義的等價性。

我們明天不見不散，可能會有全新的安排哦！——當(dāng)然也可能沒有，一切隨緣吧~