預(yù)備知識(shí)：

1. 數(shù)列l(wèi)im （1+1/n）^n=e，（1+1/n）^n<e.

2. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

3. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；

4. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

5. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

6. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

7. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.
   

8. 矩陣乘法運(yùn)算律——
   

   a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

9. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。

10. 矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

11. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

12. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

13. E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

14. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

15. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。

16. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

17. 矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng)?編著）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——

試證明下述命題：存在發(fā)散數(shù)列{an}，但對(duì)k>=2，數(shù)列{akn}皆收斂。

證：

1. 作數(shù)列：an=0，當(dāng)n是素?cái)?shù)，an=1，當(dāng)n是合數(shù)；

2. 易知{an}為非收斂列，但是子列{ak*n}（k>=1，n>=2）均為常數(shù)列。

解析幾何——

例題（來(lái)自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

證明（axb）x（axd）=（a，b，d）a

證：

1. （axb）x（axd）

   =（a，b，d）a-（a，b，a）d

   =（a，b，d）a，證畢。

高等代數(shù)——

例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：設(shè)A是n級(jí)矩陣，則|AA'|=|A|^2。

證：

1. |AA'|=|A||A'|=|A|^2，證畢。

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