橢圓：設(shè)橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離分別為m,n，在△PF1F2中

由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncosθ

4c2=(m+n)2-2mn-2mncosθ

4c2=4a2-2mn(1+cosθ)

-4b2=-2mn(1+cosθ)

4b2=2mn(1+cosθ)

mn=2b2/(1+cosθ)①

S=1/2mnsinθ

①式代入得S=b2sinθ/(1+cosθ)

=b22sin(θ/2)cos(θ/2)/2cos2(θ/2)

(分子用二倍角公式，分母用降冪公式，參考三角恒等變換相關(guān)知識)

=b2tan(θ/2)

雙曲線：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離分別為m,n，在△PF1F2中

由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncosθ

4c2=(m-n)2+2mn-2mncosθ

4c2=4a2+2mn(1-cosθ)

4b2=2mn(1-cosθ)

mn=2b2/(1-cosθ)①

S=1/2mnsinθ

①式代入得S=b2sinθ/(1-cosθ)

=b22sin(θ/2)cos(θ/2)/2sin2(θ/2)

(分子用二倍角公式，分母用降冪公式，參考三角恒等變換相關(guān)知識)

=b2/tan(θ/2)