公式(sinhx)'＝coshx已經(jīng)盡人皆知了，然而對于公式的來源，一定有不少人是這樣做的：

然而許多人并不知道雙曲正弦函數(shù)的指數(shù)表達(dá)式是如何推導(dǎo)的，所以現(xiàn)在我們嘗試類比公式(sinx)'＝cosx的方法，推導(dǎo)雙曲正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

一、一個(gè)極限的推導(dǎo)

和重要極限的推導(dǎo)類似，我們先來考察雙曲函數(shù)的定義

設(shè)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，曲邊三角形OAP（某些資料也稱雙曲扇形）為α/2，那么P點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別是coshα和sinhα，即

OB＝coshα，PB＝sinhα，由相似三角形易得

AC＝sinhα/coshα＝tanhα。

如果我們連結(jié)AP構(gòu)成△OAP，當(dāng)P在雙曲線右上支運(yùn)動(dòng)時(shí)，很容易觀察到

△OAP的面積＞曲邊三角形OAP的面積

＞△OAC的面積

當(dāng)P與A重合時(shí)，三者重合，所以更精確一點(diǎn)：

△OAP的面積≧曲邊三角形OAP的面積

≧△OAC的面積

即sinhα≧α≧tanhα(α≧0)

取倒數(shù)，并乘sinhα，得到

coshα≧sinhα/α≧1

當(dāng)α→0+時(shí)，coshα→1，利用夾逼定理，原極限證明了一半

利用coshα和sinhα/α都是偶函數(shù)，原極限得證。

這只是第一步，我們還需要得到雙曲正弦的和差化積公式。

二、相關(guān)公式

首先，我們需要得到雙曲正弦的“和角公式”，證明略。

兩式相減，并且x＝α+β，y＝α－β，解出α和β代入相減得到的式子中，就能得到差化積公三、萬事俱備，只欠求導(dǎo)

現(xiàn)在，我們已經(jīng)能夠類比求正弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)的過程，寫出求雙曲正弦導(dǎo)數(shù)的過程了。