【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)129】常微分方程：同濟(jì)高等數(shù)學(xué)教材相關(guān)內(nèi)容總結(jié)（一）
我們從最基礎(chǔ)的常微分技巧開始復(fù)習(xí)，我們優(yōu)先復(fù)習(xí)同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》教材。
不得不承認(rèn)，這本教材還是很優(yōu)秀的，常規(guī)的幾種簡(jiǎn)單點(diǎn)的題型都覆蓋到了，數(shù)學(xué)專業(yè)大概多幾種類型，并且例題會(huì)復(fù)雜一些，但是，“天下難事必作于易”，我們對(duì)待基礎(chǔ)與簡(jiǎn)單內(nèi)容的態(tài)度，是我們最終解決復(fù)雜困難問題時(shí)能力的決定因素。
第一部分：微分方程的基本概念——
微分方程——含有一個(gè)函數(shù)不同階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的方程，就是微分方程。
常微分方程——一元函數(shù)構(gòu)成的微分方程。
偏微分方程——多元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的微分方程。
全微分方程——等式左端是一個(gè)多元函數(shù)的全微分，右端是零的形式。
微分方程的解——一個(gè)滿足等式的函數(shù)。
第二部分：《高等數(shù)學(xué)》上涉及的是“常微分方程”的十種常見類型——
a.類型一——
直接法——顧名思義，就是說，可以直接用求積分的方式，求出函數(shù)。
例題：比如說勻變速直線運(yùn)動(dòng)，我們已知加速度a，求距離s和時(shí)間t的函數(shù)。
解：
a=d^2（s）/d（t^2）=dv/dt
v=at+C1（C1是任意常數(shù)）
s=0.5at^2+C1t+C2（C1，C2是任意常數(shù)）
——由于C1，C2是任意常數(shù)，所以，我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)微分方程有無數(shù)個(gè)解，類似這種解叫做常微分方程的通解。
而如果我們預(yù)先給出了C1，C2的值，那么求出來的函數(shù)被稱為特解。
C1，C2被稱為初值條件或者初始條件。
數(shù)學(xué)更關(guān)注的是通解構(gòu)成的集合的性質(zhì)，可以和線性空間的知識(shí)聯(lián)系起來。
而我們實(shí)際的解題往往求的都是特解。
對(duì)于這種最簡(jiǎn)單的微分方程，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，往往一邊只含有函數(shù)的某一階的導(dǎo)數(shù)，另一邊則是一個(gè)不含有任何導(dǎo)數(shù)，關(guān)于自變量的函數(shù)，所有這種類型的題目，都可以回歸到求解不定積分的內(nèi)容之下，不定積分的內(nèi)容，我們遲一些集中復(fù)習(xí)。
與此同時(shí)，我們還要注意，函數(shù)分為，顯式，隱式，和參數(shù)式三種，對(duì)于隱函數(shù)，我們要多注意——
先要通過隱函數(shù)定理去判斷是否存在顯示，如果存在，轉(zhuǎn)化為顯式求解；
如果不存在則可以考慮其他技巧。
b.類型二——
分離變量的方法——顧名思義，就是說，我們可以把所有的含x或者dx的項(xiàng)移到等式一邊，把所有y和dy移到另外一邊，而且這里面，dx和dy的關(guān)系一定是相除的關(guān)系dx/dy，dx和含x的式子，dy和含y的式子一定是相乘的形式，然后一起積分就好。
所謂dx指的是關(guān)于x的微分，我們運(yùn)算的時(shí)候，可以把它看作一個(gè)數(shù)直接加減乘除。
比如說，
例題：對(duì)微分方程，dy/dx=2xy^2
解：
我們按照上述形式進(jìn)行改寫——dy/y^2=2xdx；
之后兩邊取積分即可，得到-1/y=x^2+C。
這種類型的題目，依然對(duì)不定積分的技巧積累要求比較高，常用的不定積分記得越多越好。
c.類型三——
齊次方程；
注意——
這種類型的微分方程依然是常微分方程中比較特別的類型，有對(duì)應(yīng)的特定的方法；
在常微分方程的課程中，還有一個(gè)不同的概念叫做，齊次的一階線性微分方程（簡(jiǎn)稱“齊次方程”），是在研究一階線性方程中，比較簡(jiǎn)單且基礎(chǔ)的一種，大多數(shù)的數(shù)學(xué)教材都按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的順序，所以很快我們就會(huì)介紹到，然后就是一大堆常數(shù)變易法的公式要背了——千萬不要混淆哦！
定義一——形如dy/dx=f（x，y），等式右端的函數(shù)f（x，y）為它的變量x和y的零次齊次函數(shù)，即滿足恒等式f（tx，ty）=f（x，y），則稱這個(gè)方程為齊次方程。
定義二——如果微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0，滿足P（x，y）與Q（x，y）都是x和y的同次齊次函數(shù)，則稱這個(gè)方程為齊次方程
齊次函數(shù)——函數(shù)P（x，y）滿足P（tx，ty）=t^mP（x，y），稱P（x，y）為x和y的m次齊次函數(shù)。
易證明——
定義一——dy/dx=f（x，y）=f（x*（1/y），y*（1/y））=f（x/y，1）=g（x/y）；
定義二——P（x/y，1）/Q（x/y，1）=P（x*（1/y），y*（1/y））/Q（x*（1/y），y*（1/y））=（1/y）^mP（x，y）/（1/y）^mQ（x，y）=P（x，y）/Q（x，y），
dy/dx=-P（x，y）/Q（x，y）=-P（x/y，1）/Q（x/y，1）=g（x/y）。
定義三——形如dy/dx=g（x/y）的微分方方程為齊次方程。
方法——變量替換法——令y=ux，u=y/x，是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)。
例題：解方程dy/dx=x+y/x-y。
解：
令y=ux，由dy/dx=（x+y）/（x-y）得到d（ux）/dx=（x+ux）/（x-ux）；
由函數(shù)乘法求導(dǎo)法則知：u求導(dǎo)為u'=du/dx，x'=1；
則左式=xu'+x'u=x（du/dx）+u，右式=（x+ux）/（x-ux）=（1+u）/（1-u）；
左式=右式，即x（du/dx）+u=（1+u）/（1-u）——回歸到變量分離的類型；
[（1-u）/（1+u^2）]du=（1/x）dx；
兩邊積分得到，arctan u- ln[（1+u^2）^（1/2）]=ln |x|+C；
將u=y/x代入即可。
本種類型題目難點(diǎn)依然在于積分這一步，常用積分要記在腦子里。這題直接用到的是前面不定積分部分做過題目的結(jié)論。
d.類型四——
可化為齊次方程/可分離變量的方程：
我們繼續(xù)介紹可以使用變量替換法的另一種類型的方程。
我們知道，直接滿足齊次方程的條件的方程是極少一部分；但是有些形式的方程，我們可以通過變量的變換，轉(zhuǎn)化為齊次方程或者可分離變量的方程，就可以繼續(xù)用變量替換法或者分離變量法了，這種類型的方程，我們稱之為——可化為齊次/可分離變量的方程。
這一部分的思路和不定積分中將某些本身不是有理函數(shù)的函數(shù)通過變量替換化為有理函數(shù)求積分的思路大同小異。
可化為齊次方程/可分離變量的方程
定理——形如dy/dx=（ax+by+c）/（a1x+b1y+c1）的微分方方程在c=c1=0時(shí)為齊次方程，當(dāng)c和c1至少有一個(gè)不為0時(shí)，可以做相關(guān)變換，使其轉(zhuǎn)化為齊次方程，令——
x=X+h，則dx=dX；
y=Y+k，則dy=dY；
1、2中h和k是待定的常數(shù)，所以我們要列方程組，解出它們，這部分內(nèi)容，涉及到了《線性代數(shù)》里的克萊姆法則?！?span id="5tt3ttt3t" class="color-lblue-01">我們由這個(gè)方程組解的有無，來判定，這種類型的微分方程，轉(zhuǎn)化的方式。
過程——
ax+by+c=a（X+h）+b（Y+k）+c=aX+bY+ah+bk+c，a1x+b1y+c=a1（X+h）+b1（Y+k）+c=a1X+b1Y+a1h+b1k+c；
dY/dX=（aX+bY+ah+bk+c）/（a1X+b1Y+a1h+b1k+c）；
因?yàn)?中方程應(yīng)該滿足齊次方程的形式，故而得到方程組ah+bk+c=0且a1h+b1k+c=0；
由克萊姆法則，當(dāng)行列式ab1-a1b不等于0的時(shí)候，方程組有解，我們解出對(duì)應(yīng)的k與h，將原方程轉(zhuǎn)化為dY/dX=（aX+bY）/（a1X+b1Y）即可；
由克萊姆法則，當(dāng)行列式ab1-a1b=0的時(shí)候，則a1/a=b1/b=l，將l代入原方程，得到dy/dx=（ax+by+c）/[l（ax+by）+c1]；
我們令v=ax+by，則dy/dx=（v+c）/（lv+c1）；
又可得dv/dx=a+b（dy/dx），即dy/dx=（dv/dx-a）/b——y是關(guān)于x的函數(shù)；
則dy/dx=（dv/dx-a）/b=（v+c）/（lv+c1），即dv/[（bv+bc）/（lv+c1）+a]=dx，轉(zhuǎn)化為一個(gè)可分離變量的微分方程。
到這里！
