如果一組選票數(shù)據(jù)不符合本福特定律，那么首先應(yīng)該考慮 “選票數(shù)據(jù)在單位時(shí)間內(nèi)的增長量是否應(yīng)該正比于存量？” 只有在這個(gè)前提得到充分辯護(hù)后，“不符合本福特定律” 才構(gòu)成懷疑選票數(shù)據(jù)真實(shí)性的有效理由。

撰文 | 王培（美國天普大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)系）

在本屆美國總統(tǒng)選舉引起的諸多爭議之中，居然連數(shù)學(xué)都不能置身事外了。拜登的選票數(shù)據(jù)被指為 “不符合本福特定律” （Benford's law，也稱“首位數(shù)定律”），因此造假的嫌疑很大。關(guān)于這個(gè)話題本身，李永樂的《拜登選票不符合本福特定律？如何識別數(shù)據(jù)造假？》做了很好的介紹，我這里就不重復(fù)了。本文要討論的是一個(gè)更為一般的問題：

一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論（如本福特定律）在什么條件下可以回答一個(gè)具體的實(shí)際問題（如一組選票數(shù)據(jù)的真實(shí)性）？

數(shù)學(xué)是科學(xué)嗎？

在《返樸》這樣的平臺(tái)上問 “數(shù)學(xué)是科學(xué)嗎？” 會(huì)被很多讀者認(rèn)為是荒唐的（等著看評論吧），但其實(shí)更荒唐的是：這里的 “荒唐感” 可能會(huì)來自相反的兩個(gè)方向。

很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)不但是科學(xué)，而且是最高級的科學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)所刻畫的乃是世間萬事萬物所遵循的普遍規(guī)律。今年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主之一彭羅斯就是個(gè)數(shù)學(xué)家（或稱 “數(shù)學(xué)物理學(xué)家” ）。倪憶的《彭羅斯：不思考生物化學(xué)的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主不是好的數(shù)學(xué)家》中介紹說：“他的原始獲獎(jiǎng)工作是1965年發(fā)表的一篇只有三頁的數(shù)學(xué)論文，在相當(dāng)廣泛的條件下證明了黑洞內(nèi)奇點(diǎn)的存在”。歷史上更廣為人知的例子是海王星和冥王星（后者現(xiàn)在不算“行星”了，但這和本案無關(guān)），二者都是先“算出來”后“觀察到”的。如果這都不算是科學(xué)，什么還能算呢？在理論中大量運(yùn)用數(shù)學(xué)常被作為一個(gè)學(xué)科成熟的標(biāo)志。這在自然科學(xué)中以物理學(xué)為最，而在社會(huì)科學(xué)中的典型大概要數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)了。

但反方的觀點(diǎn)也并非毫無根據(jù)。數(shù)學(xué)的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)和外部應(yīng)用方式都和其它學(xué)科（如物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等等）有本質(zhì)的不同。數(shù)學(xué)是“抽象”的，就是說它不直接描述外部世界，也不直接面對經(jīng)驗(yàn)的檢驗(yàn)。比如哥德巴赫猜想，不管在多少數(shù)字上得到了驗(yàn)證，仍然是個(gè) “猜想”，而把它變成個(gè)“定理” 則要求從定義和公理出發(fā)，使用有效的推理規(guī)則來證明。這也是本福特 “定律” （law）不是個(gè) “定理” (theorem) 的原因，盡管有不少人嘗試了種種辦法把它從某些更基本的前提中證明出來，比如說李永樂那篇文章就在 “單位時(shí)間內(nèi)的增長量正比于存量” 的前提下推出了本福特定律。一個(gè)物理學(xué)結(jié)論的真假往往是根據(jù)實(shí)際觀察到的現(xiàn)象而確定的，但一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的真假一般是根據(jù)預(yù)設(shè)的前提而確定的?！艾F(xiàn)象” 是一個(gè)開放的集合，不斷會(huì)有意想不到新成員來到；“前提” 是一個(gè)固定的集合，在一個(gè)理論的范圍內(nèi)通常是不變的。

化解數(shù)學(xué)是否算是科學(xué)的這種兩難局面，通常的辦法是把科學(xué)進(jìn)一步劃分為 “經(jīng)驗(yàn)科學(xué)” 和 “形式科學(xué)” （或者用其他名詞），同時(shí)承認(rèn)這兩類理論體系的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)。但這仍不足以回答更深層的問題，例如，為什么會(huì)有這種差別，以及這兩種理論之間的關(guān)系是什么。尤其是數(shù)學(xué)的抽象性，使得它和經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系成為問題。的確有很多例子說明數(shù)學(xué) “歸根結(jié)底” 還是來自于經(jīng)驗(yàn)，但也有不少例子說明很多數(shù)學(xué)理論幾乎就是 “憑空想象” 的產(chǎn)物，盡管后來居然發(fā)現(xiàn)了巨大的實(shí)際用途。物理學(xué)家維格納曾感慨道：“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中已經(jīng)有效得不合常理了”[1]，而對此的解釋至今仍然莫衷一是。

從認(rèn)知的觀點(diǎn)看

關(guān)于數(shù)學(xué) “本質(zhì)” 的思考是數(shù)學(xué)哲學(xué)的核心問題之一，有代表性的學(xué)派包括柏拉圖主義、邏輯主義、直覺主義、形式主義等等。這里不打算對這個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行綜述，只是表述我的看法。當(dāng)然這個(gè)看法也是受了很多前人影響的，但因?yàn)楸疚牟皇菍W(xué)術(shù)論文，就不進(jìn)行詳細(xì)的引用和比較了。

我覺得傳統(tǒng)數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的一個(gè)缺陷是 “就數(shù)學(xué)談數(shù)學(xué)”，而很多問題要放在一個(gè)更廣闊的背景上才能看得清楚。我在前面的一些文章中已經(jīng)從不同側(cè)面表述了我的科學(xué)觀。和常見的觀點(diǎn)不同，我不認(rèn)為科學(xué)是 “對事物的客觀描述”，或者 “發(fā)現(xiàn)宇宙的運(yùn)行規(guī)律”，而是 “以指導(dǎo)行動(dòng)為終極目標(biāo)對公共經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)、整理的結(jié)果”。具體說來，我認(rèn)為一個(gè)理論是否算 “科學(xué)” 是個(gè)程度問題，就是說沒有完美的科學(xué)理論，但有相對較好或較差的。對經(jīng)驗(yàn)科學(xué)而言，這個(gè)程度包括三個(gè)彼此獨(dú)立的成分：（1）和經(jīng)驗(yàn)的符合程度；（2）指導(dǎo)行動(dòng)的明確程度；（3）理論內(nèi)容的簡單程度。在選用一個(gè)理論時(shí)，這三方面的相對權(quán)重會(huì)隨當(dāng)前場景而變。

一個(gè)理論的認(rèn)知功能是使用概念將蕪雜的過去經(jīng)驗(yàn)概括化，從而將其中穩(wěn)定的基本聯(lián)系以 “定律” 等形式推廣到現(xiàn)在和未來，并力圖用少量定律來解釋（即推導(dǎo)出）大量的觀察結(jié)果，因此不再需要分別記憶或使用零散的知識。這種理論的建立和使用一般會(huì)提高系統(tǒng)的適應(yīng)能力。一個(gè)經(jīng)驗(yàn)理論可以被直觀地看成一個(gè)概念網(wǎng)，其邊界節(jié)點(diǎn)對應(yīng)于感知和行動(dòng)，因此其間的關(guān)系被經(jīng)驗(yàn)所直接約束，而內(nèi)部節(jié)點(diǎn)通過和其它節(jié)點(diǎn)的聯(lián)系被經(jīng)驗(yàn)所間接約束。在這樣一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)概念的含義都被其在經(jīng)驗(yàn)中的角色所確定了，只是邊界概念的含義比較具體，而離邊界越遠(yuǎn)的概念越抽象。由于新經(jīng)驗(yàn)不斷被吸收，各個(gè)概念的含義可能隨理論的發(fā)展而或多或少地演變。在通常情況下，一個(gè)基于過去經(jīng)驗(yàn)的理論既不能保證解釋所有觀察到的現(xiàn)象，也無法保證其所有預(yù)測都不可能錯(cuò)（休謨、波普爾等都做過影響很大的論證），雖然盡可能多地解釋有關(guān)現(xiàn)象和盡可能準(zhǔn)確地預(yù)測未來仍是絕大多數(shù)理論工作者的努力方向。

數(shù)學(xué)之所以能提供經(jīng)驗(yàn)科學(xué)所無法企及的確定性，是因?yàn)樗c經(jīng)驗(yàn) “脫鉤” 、“隔離” 了。以幾何學(xué)為例，其中 “點(diǎn)” 和 “線” 的概念固然是來自于經(jīng)驗(yàn)，但在理論內(nèi)部卻僅保留了“點(diǎn)” 的 “位置” 屬性而舍棄了其 “面積” 等屬性，僅保留了“線” 的 “方向” 及 “分隔” 屬性而舍棄了其 “寬度” 等屬性。其結(jié)果就是我們不可能直接感知幾何學(xué)意義下的 “點(diǎn)” 和 “線”，但可以將某些感知結(jié)果在不同的近似程度上看作它們，而這種 “看作” 關(guān)系就將抽象的幾何概念和具體的感知結(jié)果聯(lián)系了起來。類似于在 “感知” 這個(gè)認(rèn)知活動(dòng)的 “輸入端” 的情形，在其“輸出端”，即 “行動(dòng)” 或者說 “操作”，也有這種 “抽象和具體” 之別。比如說很多人認(rèn)為 “數(shù)”（shù）的觀念源于 “數(shù)”（shǔ）的操作，而“量”（liàng）的觀念源于 “量”（liáng）的操作。和 “推”、“敲” 這些具體的軀體動(dòng)作不同，“數(shù)”、“量” 是抽象的心理操作，是和前者隔了一層的，二者需要通過一個(gè)“看作” 關(guān)系聯(lián)系起來。根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，抽象操作是在具體操作的基礎(chǔ)上建立的[2]。

把 “甲乙丙丁” 抽象到 “ABCD”，或者將后者近似地看作前者的 “符號”，這是數(shù)學(xué)和經(jīng)驗(yàn)概念相互聯(lián)系的方式，也就是語義學(xué)中的 “指稱” 和 “解釋” 關(guān)系。在構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)理論時(shí)，其中的抽象概念被定義和公理賦予了確定的含義，而定理則被證明和公理同真，所以一旦在特定的解釋下一個(gè)數(shù)學(xué)理論的公理被認(rèn)為在一個(gè)具體領(lǐng)域中適用，該理論的所有定理就同時(shí)都適用。使用這種 “批發(fā)” 的結(jié)論自然比 “零售” 的效率高，再加上同一個(gè)數(shù)學(xué)理論可以在不同的解釋下應(yīng)用于不同的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)對經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的重要貢獻(xiàn)就不難理解了?？梢哉f數(shù)學(xué)的普適性源于認(rèn)知主體用一組相互協(xié)調(diào)的感知運(yùn)動(dòng)模式處理各種經(jīng)驗(yàn)的可能性。

數(shù)學(xué)的這種貢獻(xiàn)常常被誤解。一個(gè)流行的看法是 “用的數(shù)學(xué)越復(fù)雜，理論就越好”。數(shù)學(xué)只是使一個(gè)經(jīng)驗(yàn)理論變得更加嚴(yán)格、精確、一致的語言和工具，而完全不能為其基本前提的正確性負(fù)責(zé)。由于數(shù)學(xué)不直接描述現(xiàn)實(shí)，其中每個(gè)具體結(jié)論A實(shí)際上都是 “如果B，那么A”，這里B是該理論的有關(guān)公理在這個(gè)論域上的解釋。如果這個(gè)解釋不恰當(dāng)，那么結(jié)論就無效。比如說兩條河匯成了一條，這不是說1+1=2錯(cuò)了，而是加法在這里不適用?；氐奖靖Ｌ囟?，如果一組選票數(shù)據(jù)不符合這個(gè)規(guī)律，那么首先應(yīng)該考慮 “選票數(shù)據(jù)在單位時(shí)間內(nèi)的增長量是否應(yīng)該正比于存量？” 只有在這個(gè)前提得到充分辯護(hù)后，“不符合本福特定律” 才構(gòu)成懷疑選票數(shù)據(jù)真實(shí)性的有效理由。當(dāng)然，對那些從其它前提推出本福特定律的人，所需要進(jìn)行的論證自然會(huì)不同。

前面提到的彭羅斯除了靠他的數(shù)學(xué)功力解決了重要的物理問題并思考生物化學(xué)之外，還寫過兩本書論證計(jì)算機(jī)不可能真正達(dá)到人類智能的高度。他的核心論據(jù)之一就是哥德爾不完全性定理。如果有些真理是機(jī)器不可能證明，而卻是人可以證明的，這不就說明了機(jī)器智能永遠(yuǎn)達(dá)不到人類智能的水平了嗎？這個(gè)被不少人重復(fù)過的論據(jù)的缺陷之一就是，沒考慮到哥德爾不完全性定理的適用范圍是滿足特定條件的公理化系統(tǒng)。

“那廝”怎么算

和我以往的專欄文章一樣，這個(gè)討論最后還是要轉(zhuǎn)到人工智能的設(shè)計(jì)問題上來，而落地于我研發(fā)的 “納思” 系統(tǒng)之中。在《證實(shí)、證偽、證明、證據(jù)：何以為“證”？》中我說明了在納思的信念中沒有絕對真理或公理（“納思” 是NARS，Non-Axiomatic Reasoning System的縮寫），因?yàn)槊總€(gè)信念的真值都是對已有證據(jù)的度量，所以可能被新證據(jù)所修改。即使僅僅考慮這一點(diǎn)，哥德爾不完全性定理就已經(jīng)不適用于納思了，因?yàn)檫@個(gè)系統(tǒng)不是公理化的，而且不保證傳統(tǒng)意義下的一致性。對納思當(dāng)然仍可以從很多角度來批評，但是不能再拿哥德爾定理說事。對這一點(diǎn)的詳細(xì)討論見參考文獻(xiàn)[3]。

如果沒有任何結(jié)論是確定的，那數(shù)學(xué)怎么辦？簡而言之，就是當(dāng)系統(tǒng)在非公理化信念的汪洋大海中漂泊時(shí)，仍可以在各種數(shù)學(xué)理論所提供的島嶼上得到短暫的穩(wěn)定感。和由經(jīng)驗(yàn)所 “自然塑造” 的信念不同，數(shù)學(xué)中的抽象概念和操作是數(shù)學(xué)家們精心構(gòu)造和共同維護(hù)的結(jié)果。和在人腦中類似，納思中的數(shù)學(xué)概念的基本含義來自于其定義，而其它的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)只能影響對這個(gè)概念的直覺或聯(lián)想，但不能用于證明。一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真假不再取決于其來自經(jīng)驗(yàn)的真值，而取決于它是否是某個(gè)數(shù)學(xué)理論的公理或定理，這二者都是有嚴(yán)格定義的。一個(gè)數(shù)學(xué)理論的實(shí)際應(yīng)用始于將其中的抽象概念臨時(shí)對應(yīng)于（“解釋” 為）某領(lǐng)域中的具體概念，然后對有關(guān)的結(jié)論進(jìn)行相應(yīng)解讀。

盡管我們在這個(gè)方向的工作仍在初步嘗試階段，納思中的下列現(xiàn)有功能已經(jīng)為這種 “局部公理化” 提供了基礎(chǔ)：

• 高階陳述：納思可以建立和處理對陳述的陳述，如 “1+1=2 是真的”。

• 復(fù)合概念：納思中的概念可以構(gòu)成新概念，如 “可以被2整除的數(shù)稱為偶數(shù)”。

• 變量詞項(xiàng)：某些詞項(xiàng)可以在不同情境中指代不同概念，如在 “如果X是偶數(shù)，則X+1是奇數(shù)” 之中的X。

• 臨時(shí)關(guān)系：詞項(xiàng)間的關(guān)系可以隨時(shí)建立或消除，如一個(gè)杯子的形狀，在只需要近似計(jì)算時(shí)可以被看成一個(gè)圓柱體，但在必須精確時(shí)則不再被看作一個(gè)圓柱體。

• 假設(shè)演繹：從任意給定的前提開始推理，不論該前提本身的真假。

在納思中做數(shù)學(xué)推導(dǎo)和傳統(tǒng)的定理證明系統(tǒng)會(huì)有很大的不同，因?yàn)榧{思既可以在一個(gè)數(shù)學(xué)理論內(nèi)部工作（只使用其中的定義和推理規(guī)則），也可以在它的外部工作（使用與其有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)）。比如要證明一個(gè)定理，納思會(huì)先根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)考慮一下大致該怎么做，而在基本想通后才嚴(yán)格地進(jìn)行證明。這就和數(shù)學(xué)家的實(shí)際工作過程比較接近了。

抽象概念和具體概念之別還涉及到人工智能理論中的另一個(gè)重大問題，就是概念的含義。以往在概念層面上工作的人工智能系統(tǒng)往往被歸類為 “符號主義”，而把其中的概念當(dāng)作指代外部事物的 “符號”。這就導(dǎo)致了 “系統(tǒng)不知道它所處理的符號的所指” 的詰難（所謂 “中文屋問題” 和 “符號接地問題” 等等）。但根據(jù)前面的討論，在人腦和像納思這樣的系統(tǒng)中的具體概念本來就沒這個(gè) “接地” 問題（含義本來就是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定的），而抽象概念到具體概念的解釋也是可以在系統(tǒng)內(nèi)部建立的。這個(gè)問題也在參考文獻(xiàn)[3]中有進(jìn)一步討論。

總而言之，納思對抽象概念的建立和使用所遵循的基本原則和人的類似，就是把這種概念結(jié)構(gòu) “架空” 于經(jīng)驗(yàn)概念網(wǎng)之上，以避免經(jīng)驗(yàn)細(xì)節(jié)的煩擾，并允許它們像 “模板” 一樣被滿足條件的各種具體概念結(jié)構(gòu)所 “套用”。由于這種套用本身有恰當(dāng)程度（這個(gè)模板的適用條件在多大程度上被滿足了）的問題，所以不管一個(gè)數(shù)學(xué)理論多完美，也不能保證其所有實(shí)際應(yīng)用及其結(jié)論都正確。

參考文獻(xiàn)

[1] Eugene Wigner, “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”, Communications on Pure and Applied Mathematics. 13: 1–14, 1960

[2] Jean Piaget, The Child's Conception of Number, London: Routledge and Kegan Paul, 1952

[3] Pei Wang, “Three Fundamental Misconceptions of Artificial Intelligence”, Journal of Experimental & Theoretical Artificial Intelligence, 19(3): 249-268, 2007