復(fù)變函數(shù)來了||數(shù)學(xué)物理方法

2021-01-12 21:19 作者:湮滅的末影狐 0人讀過 | 我要投稿

//本文屬于不太系統(tǒng)的學(xué)習(xí)筆記，或者可以稱為記錄。

//數(shù)理方法這門課在過去一直是一個傳說，是我當(dāng)時作為一個高中生不敢觸碰的領(lǐng)域。

//但是現(xiàn)在大學(xué)里也待了一學(xué)期了。我決定直面困難。

//開始吧。

1. 復(fù)變函數(shù)

1.1 復(fù)數(shù)的定義及運算

這一部分基本上是之前學(xué)過的知識，簡單回顧：

由于某些特殊問題的需要，我們定義了虛數(shù)單位? $i%3D%5Csqrt%7B-1%7D$ ，并定義復(fù)數(shù)集C：

$%5Cmathbb%7BC%7D%3D%5C%7Bz%20%5Cmid%20z%3Dx%2Bi%20y%2C%5C%3B%20x%2C%20y%20%5Cin%20R%5C%7D$

復(fù)數(shù)z可以用復(fù)平面上的點表示，同時可用極坐標(biāo)表示：

$z%3Dx%2Biy%3D%5Crho%20e%5E%7Bi%5Cphi%7D$

上式利用了歐拉恒等式

$e%5E%7Bix%7D%3D%5Ccos%20x%2Bi%5Csin%20x$

上述變量還有以下關(guān)系：

$x%3D%5Crho%20%5Ccos%20%5Cphi%20%3D%7B%20%5Crm%20Re%7D%20z$

$y%3D%5Crho%20%5Csin%20%5Cphi%20%3D%7B%20%5Crm%20Im%7D%20z$

$%5Crho%3D%5Csqrt%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%3D%7Cz%7C$

$%5Cphi%3D%7B%5Crm%20Arg%7Dz%3D%7B%5Crm%20arg%7Dz%2B2k%5Cpi%2C%5C%2C%20k%20%5Cin%20%5Cmathbb%20Z%2C%5C%3B%20%7B%5Crm%20arg%7Dz%20%5Cin%20%5B0%2C2%5Cpi)$

它們分別稱為復(fù)數(shù)的實部、虛部、模長、輻角。特別需要注意復(fù)數(shù)的輻角Argz的值是不能唯一確定的，增加周角的整數(shù)倍，復(fù)數(shù)值不變。這意味著

$%5Csqrt%5Bn%5D%7Bz%7D%3D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Crho%7De%5E%7Bi%5Cfrac%20%5Cphi%20n%7D$

可以有n個不同的取值。

在復(fù)數(shù)域同樣可以定義和實數(shù)類似的加減乘除運算；交換律、結(jié)合律、分配律仍然成立。

如果要簡單理解，復(fù)數(shù)可以看作復(fù)平面的二維矢量；復(fù)數(shù)的加減服從矢量的加減法則；復(fù)數(shù)的乘(除)服從模長相乘(除)，輻角相加(減)；特別地，一個復(fù)數(shù)乘 $e%5E%7Bi%5Cphi%7D$ 的作用是繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角度 $%5Cphi$ ；如果乘 i?則是逆時針旋轉(zhuǎn)90度。

1.2 復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)的定義與實變函數(shù)類似，筆記中不再詳細描述。復(fù)變函數(shù)

$w%3Df(z)%2C%5C%3Bz%20%5Cin%20E$

中，z稱為宗量，E為定義域，包含于復(fù)數(shù)域。此外還有一些麻煩的定義，這里不詳細描述。

事實上我首次見到復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用是在高二的時候，當(dāng)時在學(xué)費曼講義，并看到了費曼教授用一種非常奇妙的方式求二維拉普拉斯方程

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20f%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%3D0$

的特解，他說：

現(xiàn)在我們來談一個不可思議的數(shù)學(xué)定理，它是那么令人喜悅，所以我們將它的證明留給你們數(shù)學(xué)中一門課程去做(我想就是和數(shù)理方法類似的課程)...對于任意“普通復(fù)變函數(shù)”(我想他指的是和常見初等函數(shù)類似，沒有Rez,argz之類的表達式)...自動地滿足下列關(guān)系...

$f(z)%3Du(x%2Cy)%2Bi%5C%2Cv(x%2Cy)$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%3D0$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%3D0$

這意味著對于任意隨手寫下的“普通的”復(fù)變函數(shù)(后面會詳細說明，實際上是解析函數(shù))，都對應(yīng)拉普拉斯方程的兩個特解！這對當(dāng)時的我來說實在是難以理解的神奇理論。但是接下來我們會嘗試?yán)斫馑?..

1.3 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義類似于實變函數(shù)：

$f'(z)%3D%20%5Clim_%7B%5CDelta%20z%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(z%2B%5CDelta%20z)-f(z)%7D%7B%5CDelta%20z%7D$

但是宗量是復(fù)平面上的點，極限存在的條件是從平面上任意方向趨近于目標(biāo)點，得到的極限值都相同。因此復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的條件比實變函數(shù)更嚴(yán)格。設(shè)可導(dǎo)的復(fù)變函數(shù)

$f(z)%3Du(x%2Cy)%2Bi%5C%2Cv(x%2Cy)$

如果 $%5CDelta%20z$ 沿實軸(即x軸)趨于0，則根據(jù)以上定義式

$f'(z)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20x%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(z%2B%5CDelta%20x)-f(z)%7D%7B%5CDelta%20x%7D%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%20i%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$

沿虛軸趨于0，則

$f'(z)%3D%5Clim_%7B%5CDelta%20y%20%5Crightarrow%200%7D%5Cfrac%7Bf(z%2Bi%5CDelta%20y)-f(z)%7D%7Bi%20%5CDelta%20y%7D%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-i%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D$

兩種方式求得的導(dǎo)數(shù)應(yīng)當(dāng)相等。因此可得柯西-黎曼方程：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D$

上式是復(fù)變函數(shù) $f(z)%3Du%2Biv$ 可導(dǎo)的必要條件。

復(fù)變函數(shù)在某一點可導(dǎo)的充要條件是： $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D$ 在這一點均存在且連續(xù)；而且滿足柯西-黎曼方程。

復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則與實變函數(shù)基本一致，這里不再展開。

1.4 解析函數(shù)

若函數(shù)在 $z_0$ 及其鄰域處處可導(dǎo)，則稱該函數(shù)在這一點解析；函數(shù)在某區(qū)域每一點都解析，則稱為該區(qū)域的解析函數(shù)。

事實上有了柯西-黎曼方程我們就可以解釋前面在費曼講義中提到的神奇操作了，并且這也是復(fù)變函數(shù)中的一個重要定理。解析函數(shù)的主要性質(zhì)：

將柯西-黎曼方程兩邊分別相乘，得到

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D0$

這相當(dāng)于

$%5Cnabla%20u%20%5Ccdot%20%5Cnabla%20v%3D0$

所以曲線族 $u%3DC_1$ 和 $v%3DC_2$ 是正交的。

若對柯西-黎曼方程進行微分得到：

$%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%3D%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%3D%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%5E2v%7D%7B%5Cpartial%20x%5Cpartial%20y%7D$

$%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%5E2u%7D%7B%5Cpartial%20y%5E2%7D%3D-%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D-%5Cfrac%20%7B%5Cpartial%5E2v%7D%7B%5Cpartial%20x%5Cpartial%20y%7D$

相加即可得

$%5Cnabla%20%5E2%20u%20%3D%200$

同理得

$%5Cnabla%5E2v%3D0$

因此解析函數(shù) $f(z)%3Du%2Biv$ 定義域上u, v均為調(diào)和函數(shù)，即滿足拉普拉斯方程。

所以以上就是當(dāng)時費曼講義提到的定理，它可以用來求自由空間中平移不變情況下的電勢分布(此時電勢滿足二維了拉普拉斯方程)：任意寫下一個解析的復(fù)變函數(shù)，則得到的u和v分別確定電勢與電場線。

理論上，u或v已知，則可以由柯西-黎曼方程反推得到原先的復(fù)變函數(shù)表達式。

1.5 平面標(biāo)量場

前面提到的復(fù)變函數(shù)用于求平面靜電場只是其中一個案例。實際上包括熱傳導(dǎo)、流體的無旋定常流動等模型中，只要出現(xiàn)了滿足拉普拉斯方程的平面標(biāo)量場，都可以用類似的方法研究。以電場為例，如果一個解析函數(shù)的實部或虛部為電勢場，則稱這一解析函數(shù)為復(fù)勢。不妨設(shè)

$f(z)%3Du(x%2Cy)%2Bi%5C%2Cv(x%2Cy)$

其中u就是空間中的電勢函數(shù)。此時v也有其物理意義：

首先根據(jù)u，v曲線族正交，曲線族 $v(x%2Cy)$ 就是電場線方程；又如果求A，B兩點的電通量：

$%5CPhi%3D%5Cint_A%5EB%20E_n%5Ccdot%20%7B%5Crm%20d%7D%20s$

其中 $E_n$ 是電場垂直積分路徑的分量。容易證明，該積分可以寫成

$%5CPhi%3D%20%5Cint_A%5EBE_y%20%7B%5Crm%20d%7Dx-%20E_x%20%7B%5Crm%20d%7Dy%3D%20%5Cint_A%5EB%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%7B%5Crm%20d%7Dy-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%7B%5Crm%20d%7Dx$

將柯西-黎曼方程代入，得到

$%5CPhi%3D%20%5Cint_A%5EB%20dv%3Dv(x_2%2Cy_2)-v(x_1%2Cy_1)$

因此 $v(x%2Cy)$ 稱為通量函數(shù)，給出兩點間的電通量。對于其他模型如熱傳導(dǎo)或流體，則給出兩點間熱流量或流體的流量。

1.6 多值函數(shù)

前面提到的

$f(z)%3Dz%5E%5Cfrac1n$

就是多值函數(shù)。以n=2的情況為例，則有

$z%5E%5Cfrac12%3D%5Csqrt%7B%7Cz%7C%7De%5E%7Bi%5Cfrac%7B%7B%5Crm%20Arg%7Dz%7D%7B2%7D%7D$

而此時Argz有兩個取值 $%7B%5Crm%20arg%7Dz%2C%5C%3B%7B%5Crm%20arg%7Dz%2B2%5Cpi$ . 所以

$w%3D%5Csqrt%7Bz%7D%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%5Csqrt%7B%7Cz%7C%7D%20e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%20%5Carg%20z%7D%7B2%7D%7D%20%5C%5C%0A-%5Csqrt%7B%7Cz%7C%7D%20e%5E%7B%5Cfrac%7Bi%20%5Carg%20z%7D%7B2%7D%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$

上式給出的兩個不同w值稱為兩個單值分支。

注意到 $z%3D0$ 點：如果從某點出發(fā)繞該點一周回到出發(fā)點，則函數(shù)會由一個分支連續(xù)變化到另一個分支。如果換一條不包含這一點的路徑，則回到出發(fā)點時仍然在同一單值分支。此外在這一點各單值分支相等。故 $z%3D0$ 稱為函數(shù) $f(z)%3D%5Csqrt%20z$ 的支點。繞支點2(n)周將使函數(shù)回到同一分支，函數(shù)值不變，故該點是2-1=1(n-1)階支點。